Eigenräume effizient bestimmen

01.07.2016, 10:59

balance

Eigenräume effizient bestimmen

Hallo,

Ich hab zwar kein Problem damit, die Eigenräume zu bestimmen, doch lese ich immer und immer wieder "Nun können wir ablesen." Ich hingegen löse jedesmal noch die umgeformte Matrix per Hand auf.

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\1&-2&1&0\\-1&1&-1&-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ein Eigenwert hiervon ist 1. Was sie nun machen ist:

$\begin{eqnarray*} A-T=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&-2&0&0\\-1&-2&0&0\\-1&1&-1&-2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ durch elem. Zeilenop. erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} A-T=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\-1&1&-1&-2\\0&-1&-1&-2\\0&0&2&4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

von der man unmittelbar ablesen kann, dass der Eigenraum zum Eigenwert 1 vom Vektor $\begin{eqnarray*} (0,0,2,-1) \end{eqnarray*}$ erzeugt wird.

So... kann mir jemand sagen, wie er unmittelbar sieht, dass es der Vektor sein muss? Ich würde auch gerne einfach das Ding anschauen und das sehen :p [Wie gesagt, ich hab das gleiche Ergebnis, ich hätte einfach jetzt noch weiter aufgelöst und per Hand a,b,c,d bestummen etc.]

01.07.2016, 11:23

Elvis

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Ich sehe nichts. Soviel ich weiß, muss jeder den Kern von $\begin{eqnarray*} A-\lambda I \end{eqnarray*}$ berechnen. Hinterher ist es offensichtlich, aber nicht vorher.

01.07.2016, 12:47

klarsoweit

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RE: Eigenräume effizient bestimmen

Zitat:

Original von balance
$\begin{eqnarray*} A-T=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\-1&1&-1&-2\\0&-1&-1&-2\\0&0&2&4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

von der man unmittelbar ablesen kann, dass der Eigenraum zum Eigenwert 1 vom Vektor $\begin{eqnarray*} (0,0,2,-1) \end{eqnarray*}$ erzeugt wird.

Hier befindet sich die Matrix quasi in Zeilenstufenform (es fehlt nur eine Zeilenvertauschung), so daß man an dieser Stelle den Kern ablesen kann. smile

01.07.2016, 13:03

Elvis

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Ja, ich dachte, das sei "hinterher". Im Text steht, "durch elementare Zeilenoperationen erhalten wir ...", und genau das ist es, was ich unter Berechnung des Kerns verstehe. Wollte balance nicht wissen, wie man das in der Originalmatrix A-T abliest ?

01.07.2016, 16:38

balance

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Zitat:

Original von Elvis
Ja, ich dachte, das sei "hinterher". Im Text steht, "durch elementare Zeilenoperationen erhalten wir ...", und genau das ist es, was ich unter Berechnung des Kerns verstehe. Wollte balance nicht wissen, wie man das in der Originalmatrix A-T abliest ?

Neinein, ich meinte schon diese "bearbeitete" Matrix, die letzte.

klarsoweit, wo leist du das den ab? Also ich meine, ich sehe schon dass man wohl die 3. Zeile meint, aber irgendwie macht mir das keinen Sinn. Mir ist auch klar, dass die Abhängigkeit der Parameter die man durch die 3. Zeile bekommt für die anderen Zeilen (bzw. Gleichungen) gültig sein muss, aber naja - ist das die Begründung ode gibts eine tiefere?

01.07.2016, 18:28

Elvis

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"Ablesen" so wie immer. Rang=3, also ein Freiheitsgrad, setze $\begin{eqnarray*} x_4=-t \end{eqnarray*}$ , dann folgt aus der letzten Zeile $\begin{eqnarray*} x_3=-2x_4=2t \end{eqnarray*}$ , aus der 3. Zeile ergibt sich dann $\begin{eqnarray*} x_2=x_3+2x_4=2t-2t=0 \end{eqnarray*}$ , und spätestens jetzt kannst Du $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ aus der 2. Zeile ablesen.

Ich ziehe es bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen vor, den Gauß-Algorithmus so lange weiter zu treiben, bis ich links oben eine Einheitsmatrix vom Rang der Koeffizientenmatrix habe, dann geht das Ablesen ganz ohne Rechnung.

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