Riemann- vs. Lebesgueintegral

01.07.2016, 11:47	Tania36486	Auf diesen Beitrag antworten »
Riemann- vs. Lebesgueintegral Ich verstehe den Zusammenhang zwischen Riemann- und Lebesgueintegralen nicht. Sind alle Funktionen, die R reimannintegrierbar sind, auch lebesgueintegrierbar, oder ist das umgekehrt?
01.07.2016, 12:24	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
(Eigentlich) riemannintegrierbare Funktionen (d.h. auf einem kompakten Intervall $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ ) sind immer auch lebesgueintegrierbar. Uneigentlich riemannintegrierbare Funktionen müssen dagegen nicht lebesgueintegrierbar sein; das "Standardbeispiel" dazu ist $\begin{eqnarray} x\mapsto \begin{cases}\frac{\sin(x)}{x} & x\neq 0 \\ 1 & x=0. \end{cases} \end{eqnarray}$ . Diese Funktion ist auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ riemann-, aber nicht lebesgueintegrierbar. Umgekehrt folgt aus Lebesgueintegrierbarkeit nicht Riemannintegrierbarkeit (siehe z.B. die Dirichletfunktion).

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