Kürzester Abstand von zwei Funktionen

01.07.2016, 14:06

Gjenko

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Kürzester Abstand von zwei Funktionen

Hallo zusammen habe folgende Aufgabe.

zwei Funktionen f(x)=x²+1 und g(x)=x-4
der Kürzeste Abstand zwischen beiden Funktionen ist gesucht.

Meine Überlegung:

f`(x)= 2x
g´(x) = 1

f´(x) = g´(x)
2x = 1
x= 0,5

f(0,5) = 0,5²+1= 1,25 Somit habe ich den Punkt der Parabel ausgerechnet (0,5/1,25)

jetzt weiß ich aber nicht wie ich weiter machen soll

kann ich von dem Punkt aus eine Tangente zeichnen die Parallel zu der Funktion g(x) ist dann die neue funktion mit g(x) gleichsetzen um den zweiten Punkt auszurechnen ? ich wüsste auch nicht wie ich dann auf die neue Funktion kommen kann.

01.07.2016, 14:13

klarsoweit

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RE: Kürzester Abstand von zwei Funktionen

Zitat:

Original von Gjenko
der Kürzeste Abstand zwischen beiden Funktionen ist gesucht.

Das müßtest du mal näher definieren, denn mit deiner Methode bestimmst du den kürzesten vertikalen Abstand. Kann ja sein, daß das gefragt ist, aber sicher ist es nicht.

01.07.2016, 14:24

Gjenko

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RE: Kürzester Abstand von zwei Funktionen
den kürzesten Abstand bekommt man doch nur vertikal raus wenn man den senkrecht ausrechnen würde wäre das nicht der kürzeste Abstand.

senkrecht ist es kein Problem zu lösen einfach, beide Funktionen von einander abziehen, Extrempunkt ausrechnen und den punkt in beide Funktionen einsetzen. Dann hat man beide Punkte und kann die länge ausrechnen.

01.07.2016, 14:37

Gjenko

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RE: Kürzester Abstand von zwei Funktionen
den Punkt P(0,5/1,25) habe ich ja jetzt
kann ich daraus das machen

1,25 = 0,5 * 1 +b (*1 weil ja die steigung der funktion g(x) = 1 ist)
b = 0,75

h(x) = x+0,75

wäre diese Überlegung richtig.

01.07.2016, 14:38

HAL 9000

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@Gjenko

Deine Rechnung zielt auf $\begin{align*} \min\limits_x (f(x)-g(x)) \end{align*}$ ab.

Will man aber den minimalen Abstand der Funktionsgraphen bestimmen, dann geht es um $\begin{align*} \min\limits_{x_1,x_2} \sqrt{(x_1-x_2)^2 + \left(f(x_1)-g(x_2)\right)^2} \end{align*}$ , ein ganz anderes Problem mit natürlich auch anderer Lösung: Für den zugehörigen optimalen Punkt $\begin{align*} (x_1,f(x_1)) \end{align*}$ auf der Parabel $\begin{align*} f \end{align*}$ gilt durchaus nicht $\begin{align*} x_1=0.5 \end{align*}$ . unglücklich

unglücklich

EDIT: Nicht zutreffendes nachträglich gestrichen.

01.07.2016, 14:46

Steffen Bühler

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Wenn ich mich kurz einmischen darf...

Ich glaube, Gjenkos Ansatz ist richtig:

Der Punkt P(0,5|1,25) ist Teil der kürzesten Abstandsstrecke der Graphen, denn für x=0,5 sind die Steigungen der Funktionen identisch.

Nun hat er die Gerade nach oben verschoben und sie als Tangente angelegt. Zu dieser Tangente würde ich nun die Senkrechte durch den Tangentenpunkt bilden. Dann deren Schnittpunkt mit der grünen Geraden berechnen. Der Abstand dieser beiden Punkte ist gesucht.

Viele Grüße
Steffen

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01.07.2016, 14:47

HAL 9000

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Ups, hab selbst gerade gemerkt, dass ich mich verrechnet habe - sorry. Leider eine Minute zu spät.

01.07.2016, 15:03

Gjenko

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danke schon mal für eure Hilfe ich kann die Aufgabe nicht zu ende rechnen.
Habe dann ja die Funktion h(x)=x+0,75

wenn ich die Gleich setze mit der g(x) verschwindet mein x
und wenn ich die g(x)-h(x) rechne dann auch also stimmt da doch was nicht oder wie macht man da weiter.

Vielen Dank schon mal smile

smile

01.07.2016, 15:15

Steffen Bühler

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Ich schrieb doch

Zitat:

Zu dieser Tangente würde ich nun die Senkrechte durch den Tangentenpunkt bilden.

Du hast also den Punkt P(0,5|1,25). Die Tangente hat die Steigung 1, also hat deren Senkrechte die Steigung...

Und dann Punkt-Steigungsformel.

02.07.2016, 18:55

willyengland

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Sehr schlau die Lösung mit der Tangente/Normalen!

Mich würde mal interessieren, wie man vorgeht, wenn der kürzeste Abstand zwischen zwei Parabeln gefragt ist.
z.B.
$\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} y=-(x-2)^2+1 \end{eqnarray*}$

02.07.2016, 22:09

Bürgi

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Guten Abend,

im Prinzip genau so wie in der vorigen Aufgabe beschrieben:
Du hast 2 Punkte, je einer auf einer Parabel: P(a / a²), Q(b / -(b-2)²+1)

Die Tangentensteigungen in den beiden Punkten müssen gleich sein (1).

Die Richtung der Normalen in P auf die erste Parabel muss gleich sein der Richtung PQ. (2)

Das ergibt ein Gleichungssystem von zwei Gleichungen in a und b.
Die Zahlenwerte für a und b sind sogar relativ zivil! (Zur Kontrolle: $\begin{eqnarray*} P\left(^3 \sqrt {\frac12}~ \mid ~ ^3 \sqrt {\frac14} \right) \end{eqnarray*}$ )
Zur Erläuterung:
[attach]42220[/attach]

03.07.2016, 09:27

willyengland

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Ok, vielen Dank!
Da bin ich nicht drauf gekommen, das mit Buchstaben a und b zu machen.
Einfach mit x geht es natürlich nicht.

Zitat:

Die Tangentensteigungen in den beiden Punkten müssen gleich sein (1).

Klingt irgendwie plausibel, aber direkt einsichtig ist mir das nur oben bei der Geraden. Warum gilt das auch bei krummen Kurven?

Und: Gilt das immer, also bei beliebigen differenzierbaren Funktionen?

03.07.2016, 12:42

sockenschuss

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Warum nur bei der Geraden? Die Tangenten sind Ergebnis eines Grenzprozesses.

03.07.2016, 14:59

sockenschuss

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Das Finden der Parallelen Tangenten ist doch im grunde das Analogon für das Finden der waagerechten Tangente beim Suchen nach einem Extremum, oder?

03.07.2016, 15:42

willyengland

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Zitat:

Original von sockenschuss
Das Finden der Parallelen Tangenten ist doch im grunde das Analogon für das Finden der waagerechten Tangente beim Suchen nach einem Extremum, oder?

Ahhhh!
Jetzt hat es Klick gemacht!
Wenn man das Bild oben so dreht, dass die beiden Parallelen horizontal stehen, ist es klar.

Danke! smile

smile

03.07.2016, 16:51

willyengland

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@Bürgi:

Ich wollte das jetzt noch mal nachrechnen, aber komme nicht weiter:

Zunächst Bedingung 1:

A) $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'=2x \end{eqnarray*}$

Punkt $\begin{eqnarray*} P(a | a^2) \end{eqnarray*}$ einsetzen: $\begin{eqnarray*} a^2=2a \end{eqnarray*}$ gibt:
$\begin{eqnarray*} a^2-2a=0 \end{eqnarray*}$

B) $\begin{eqnarray*} y=x^2-4x+5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'=2x-4 \end{eqnarray*}$

Punkt $\begin{eqnarray*} Q(b | b^2-4b+5) \end{eqnarray*}$ einsetzen: $\begin{eqnarray*} b^2-4b+5=2b-4 \end{eqnarray*}$ gibt:
$\begin{eqnarray*} b^2-6b+9=0 \end{eqnarray*}$

Die beiden Gleichungen kann man gleichsetzen.
Das ist die erste Gleichung, soweit klar.

Aber die zweite Bedingung bekomme ich nicht auf die Reihe.

03.07.2016, 17:50

Bürgi

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Guten Abend,

@willyengland

Du hast unter B) einen falschen Funktionsterm benutzt: Minuszeichen vergessen.

Hier ist mein Rechnenweg:

$\begin{eqnarray*} p(x)=x^2~\implies~p'(x)=2x \end{eqnarray*}$
Daraus folgt: P liegt auf dem Graphen: $\begin{eqnarray*} P(a \mid a^2) \end{eqnarray*}$ . Die Tangente in P hat die Steigung $\begin{eqnarray*} m_{t_p}=2a \end{eqnarray*}$ . Die Normale in P hat die Steigung $\begin{eqnarray*} m_{n_p} = -\frac1{2a} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} q(x)=-(x-2)^2+1 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt: Q liegt auf dem Graphen: $\begin{eqnarray*} Q(b \mid -(b-2)^2+1) \end{eqnarray*}$ . Die Tangente in Q hat die Steigung $\begin{eqnarray*} m_{t_Q} = -2b+4 \end{eqnarray*}$

Die Verbindungsstrecke PQ hat die Richtung $\begin{eqnarray*} m_{PQ} = \frac{-(b-2)^2+1-a^2}{b-a} \end{eqnarray*}$

1. Die Tangentensteigungen sind gleich:

$\begin{eqnarray*} 2a = -2b+4~\implies~b=2-a \end{eqnarray*}$

2. Die Normale in P und die Verbindungsstrecke PQ haben dieselbe Richtung:

$\begin{eqnarray*} -\frac1{2a} = \frac{-(b-2)^2+1-a^2}{b-a} \end{eqnarray*}$

Jetzt in 2. b durch 1. ersetzen:

$\begin{eqnarray*} -\frac1{2a} = \frac{-(2-a-2)^2+1-a^2}{2-a-a}~\implies~-\frac1{2a} = \frac{-2a^2+1}{2-2a} \end{eqnarray*}$

Der Rest ist für Dich! FF!

03.07.2016, 18:48

willyengland

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Herrlich!
Jetzt hab ichs auch! smile

smile

Danke!

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