Hesse-Normalform |
| 01.07.2016, 15:46 | Thisor | Auf diesen Beitrag antworten » |
Sitze an einer Aufgabe: Die Ebene E ist in Punkt-Richtung-Form gegeben: vektor x = (1,0,-4) + k(1,2,2) + m(-3,1,4) Soll das in Hesse-Normalform angeben und den Abstand von E zum Ursprung berechnen. Nun hätte ich jetzt Gleichungen gestellt auf k gestellt und gesetzt. Meine Fragen: 1. Weiß ich nun nicht ob das richtig wäre. 2. Hesse-Normalform sagt mir nicht viel, durch google werde ich auch nicht viel klüger, da ich die Unterschiede nicht kenne zwischen Hesse-Normalform und..Nicht-Hesse-Normalform.. lg Okay, sehe gerade dass meiner erster Schritt den k-vektor und m-vektor als Kreuzprodukt sein muss. Wähle ich k und m aus, weil sie eine Variable vor sich haben? Zwei Beiträge zusammengefasst, damit Antwortzähler auf Null steht. Steffen |
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| 01.07.2016, 16:00 | trxre | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, um den Normalenvektor einer Ebenen zu erhalten, musst du das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bilden. Bei der Hesseschen Normalform ist das besondere, dass der Normalenvektor auf die Länge 1 normiert wird. Das hilft der Bestimmung von Abständen zur Ebene. |
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| 01.07.2016, 16:11 | Thisor | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay, also ergibt m*k = Normalvektor einer Ebene. Ab wann fängt die Hesse-Normalform an? Sobald ich (1,0,-4) mit dem Normalvektor multipliziere? Oder erst wenn ich den Normalvektor auf die Länge 1 normiert habe? Und stimmt die Aussage, dass ich k und m wählen muss, da sie eine Variable besitzen? |
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| 01.07.2016, 16:31 | trxre | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, die beiden Vektoren musst du nehmen, weil eine Variable davor steht. Das zeigt, dass es Richtungsvektoren sind. Es hat ab dem Moment die Form der Hesschen Normalenform, in dem der Normalenvektor die Länge 1 hat. Tipp: Den Ortsvektor musst du mit dem bereits normierten Vektor multiplizieren. (Diese Multiplikation ist nicht zwingend erforderlich.) |
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| 01.07.2016, 16:58 | Thisor | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay, ich komme gerade nicht weiter bzw hab ein Verständnisproblem: Mein Normalvektor und somit n ist(6,-10,7) mein p ist ja (1,0,-4). Nun habe ich (1*6) + (0*(-10)) + (-4 * 7) = 22 Hesse-Normalform heißt ja vektor n / vektor absolut n. ausgerechnet komme ich auf 1/wurzel185 (6,-10,7). nun muss ich das auf x,y,z aufteilen und sie einzeln addieren, also quasi 6/wurzel185 x + (-10)/wurzel185y etc wieso ist das Ergebniss dann 22/wurzel 185? komme nicht auf 22.. edit: kann ich den Schritt auslassen und gleich mit vektor p - ortsvektor anfangen?? Das ist doch dein Hinweiß gewesen, wenn ich es richtig verstanden habe, oder? 
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| 01.07.2016, 17:41 | trxre | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also du kamst ja noch selber bis zur Stelle: 1/Wurzel(185)*n. Also hätten wir, wenn wir den Vorfaktor in den Vektor hineinmultiplizieren, unseren normierten Normalvektor: Der erste Teil meines Tipps bezog sich darauf, dass man eben nicht den Ortsvektor mit (6,-10,7) multiplizieren darf, sondern mit der normalisierten Vektor n multiplizieren muss. Daher ist auch 22/Wurzel(185) das richtige Ergebnis dafür. Das mit dem Weglassen der Multiplikation war darauf bezogen, dass die Normalform auch so beschrieben werden kann: (x-p)*n=0 Bei dieser Form fällt also die Multiplikation des Normalvektor mit dem Ortsvektor komplett weg. |
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| 01.07.2016, 18:53 | Thisor | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay, aber ist das dann immer noch die Hesse-Normalform? In der Aufgabenstellung wird´s halt erwartet :p |
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| 01.07.2016, 19:11 | trxre | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also beide möglichen Formen, die hessische Normalform aufzuschreiben, sind: mit p=(1,0,-4), n: siehe vorhin, x: irgendein Punkt in der Ebene oder dasselbe umgeformt . Ich weiß nicht, welche dein Lehrer dir beigebracht hat und erwartet. Beide sind aber gleichwertig. |
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| 01.07.2016, 19:13 | trxre | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zur Frage: Abstand zum Ursprung Diesen speziellen Abstand kannst du mit dem Skalar aus p und n berechnen (n ist weiterhin der normierte Normalvektor) |
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