Integral Äquivalenzrelation

01.07.2016, 17:50	Tobias_	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Äquivalenzrelation Hallo ich versuche gerade eine Übungsaufgabe zu machen, bei der es darum geht zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx = 0 \end{eqnarray}$ eine Äquivalenzrelation ist. Dass es eine ist ist ja relativ schnell ersichtlich aber ich bin mir unsicher wie man das mathematisch korrekt aufschreibt ohne nur die Definition abzuschreiben. Also ich würde es so in der Art machen: Für Reflexivität muss ja gelten: aRa, also: $\begin{eqnarray} a R a <=> \int_{a}^{a} \! f(x) \, dx = 0 \end{eqnarray}$ Wobei das ja einfach aus der Definition folgt. Ist man damit schon fertig oder fehlt da noch der eigentliche Beweis? Ist der Pfeil auch richtig oder sollte man da "=>" öÄ nutzen? Für die Symmetrie: $\begin{eqnarray} a R b \Rightarrow \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx = 0 \\<br /> \Rightarrow -\int_{b}^{a} \! f(x) \, dx = 0\\<br /> \Rightarrow \int_{b}^{a} \! f(x) \, dx = 0\\<br /> \Rightarrow bRa \end{eqnarray}$ Ich denke ich diesem Fall darf/soll man keinen Äquivalenzpfeil zwischen den Schritten nehmen?! Für die Transitivität: $\begin{eqnarray} aRb \wedge bRc \Rightarrow \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx = 0 \wedge \int_{b}^{c} \! f(x) \, dx = 0\\<br /> \Rightarrow \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx + \int_{b}^{c} \! f(x) \, dx = 0 \\<br /> \Rightarrow \int_{a}^{c} \! f(x) \, dx = 0\\<br /> \Rightarrow aRc \end{eqnarray}$ Hier bin ich mir auch unsicher, ob das mathematisch so korrekt ist, das "^" gewissermaßen in das "+" zu übersetzen. Hoffe mir kann da jemand helfen das mathematisch sauber zu beweisen. Schöne Grüße
01.07.2016, 19:28	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral Äquivalenzrelation 1) $\begin{eqnarray} aRa\Leftrightarrow\int_a^a f(x)\,dx=0 \end{eqnarray}$ gilt laut Definition von $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ . Es ist Dein Teil zu zeigen, dass rechts fuer beliebiges $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ eine wahre Aussage steht. Erst damit ist der Beweis der Reflexivitaet erbracht, nicht mit dem Aufschreiben dessen, was sowieso per Definition gilt. 2) Deine Bemerkungen zur Symmetrie sind ok. Kannst Dir ja mal ueberlegen, was sich aus einfachem Folgepfeil + Symmetrie fuer die Aequivalenzfrage ergibt. 3) Bei der Transitivitaet wird nicht $\begin{eqnarray} \wedge \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} + \end{eqnarray}$ ersetzt, das ist doch Quatsch! Es wird vielmehr benutzt, dass mit $\begin{eqnarray} x=0\wedge y=0 \end{eqnarray}$ natuerlich auch $\begin{eqnarray} x+y=0 \end{eqnarray}$ gilt.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »