Integriere mit Vektoren (E-Feld, Potential)

01.07.2016, 17:50	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Integriere mit Vektoren (E-Feld, Potential) Hallo, Ich würde gerne folgendes integrieren: Das Elektrische Potential ist gegeben durch: $\begin{eqnarray} \phi(\vec r)=-\int_\infty^{\vec{r}} \vec E\cdot d\vec s \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} \vec E(\vec r)=k\frac{Q}{r^2}\hat r \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k\in\mathbb R \end{eqnarray}$ und Q irgendeien Ladung, unser Elektrisches Feld. Die physk. Überlegung hinter dem Integral ist: Wir holen eine kleine Testladung vom Unendlich hier hin, so dass die Kraft im Unendlichen verschwindet. Ich würde das nun mal richtig pedantisch berechnen. Leider sehe ich nicht wie ich das mache - wäre es ein skalares Integral, sprich es hat keinen Vektor drin, dann wäre es ja sehr einfach. Ich denke das ja gilt: $\begin{eqnarray} \hat r \cdot d\vec s = \vec r_x ds_x + \vec r_y ds_y + \vec r_z ds_z \end{eqnarray}$ [Die Notation der Komponenten des Richtungsvektor ist hier komisch - wusste nciht wie ich es sonst schreiben sollte] Kurzum: Es gibt nen Skalar. Durch intuitives überlegen können wir sagen $\begin{eqnarray} \hat r\cdot d\vec s = dr \end{eqnarray}$ da wir ja in Richtung r ein ganz kleiens stücklein gehen. - aber naja, das ist keine Mathematik, wie macht mans richtig? Nun haben wir noch das Problem der oberen Grenze ... naja, da wir ja eh nur den Betrag brauchen, ist der egal. Also im Prinzip ist die Frage, wie ich den korrekt $\begin{eqnarray} \hat r \cdot d\vec s \end{eqnarray}$ berechne.
01.07.2016, 19:01	trxre	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Physik hat man einen Sachzusammenhang und kann aus dem begründet mathematisch einige "Tricks" anwenden, die sich einfach aus der Physik ergeben. Das Potential ändert sich nur bei einer Bewegung entlang der Feldlinien. Das heißt, dass du alle Komponenten senkrecht dazu mit 0 einfach rausfallen lassen kannst. Am besten setzt du die Achse auf deine Feldlinie, sodass du auch keine Vektoren mehr brauchst, weil du nur die Bewegung entlang einer Achse hast. Das sind alles physikalische Rahmenbedingungen, die sich wie oben auf einen mathematischen Grundsatz begründen lassen. Dadurch hast du dann nur noch dein einfaches Integral: $\begin{eqnarray} \int_{r }^{\infty} \! \frac{kQ}{r²} \, dr \end{eqnarray}$ . Das kannst du dann klassisch lösen. Das, was du als "keine Mathematik" beschrieben hast, ist schon welche. Auch darfst du doch in praktischen Anwendungsbeispiele auch auf deine Intuition verlassen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »