Menge aller Abstiegsrichtungen bestimmen

02.07.2016, 10:06

Xyarvius

Menge aller Abstiegsrichtungen bestimmen

Meine Frage:
Hallo,
die Aufgabe ist im Anhang.

Meine Ideen:
Ich komme mit der gegebene Eigenschaft einer Abstiegsrichtung nicht weiter.
Müsste es nicht
$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} (f(0+th_x,0+th_y,1+th_z) - f(0,0,1))\leq 0 \end{eqnarray*}$
heißen?
Und wenn ich darauf die in meinem Skript gegebene Definition einer Richtungsableitung anwende komme ich auf
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} }{\partial f \begin{pmatrix} hx \\ hy \\ hz \end{pmatrix} } = grad (f \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}) \begin{pmatrix} hx \\ hy \\ hz \end{pmatrix} \leq 0 \end{eqnarray*}$
womit ich dann ja drei Ungleichungen hätte die ich nach h oder x/y/z (?) lösen könnte.

Selbst wenn dieser Ansatz in die richtige Richtung gehen sollte, würde er doch nicht mit der gegebenen Eigenschaft zusammenpassen. Jetzt bin ich ratlos.
Wie komme ich mit dieser Eigenschaft weiter?

02.07.2016, 11:04

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RE: Menge aller Abstiegsrichtungen bestimmen
Das Rote scheint mir tatsächlich in der Aufgabe zu fehlen
$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} (f(0+th_x,0+th_y,\textcolor{red}{1+}th_z) - f(0,0,1))\leq 0 \end{eqnarray*}$
Allerdings geht es hier nur um den $\begin{eqnarray*} \lim_{t\searrow 0} \end{eqnarray*}$ also den einseitigen Grenzwert, nicht wie du geschrieben hast $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to 0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} grad (f \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}) \begin{pmatrix} hx \\ hy \\ hz \end{pmatrix} \leq 0 \end{eqnarray*}$
ist ein Skalarprodukt, du hast also nur eine einzige Ungleichung.

Zitat:

Selbst wenn dieser Ansatz in die richtige Richtung gehen sollte, würde er doch nicht mit der gegebenen Eigenschaft zusammenpassen.

Den Satz verstehe ich nicht.

02.07.2016, 12:11

Xyarvius

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RE: Menge aller Abstiegsrichtungen bestimmen
Aah, ok, dann hat sich in die Aufgabe ein Fehler eingeschlichen. Ok. Dann habe ich
$\begin{eqnarray*} grad(f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix})= \begin{pmatrix} 2x+3y-5 \\ 8y+3x-12 \\ 2z-z^{-1} -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dann den Punkt eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} grad(f\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -5 \\ -12 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und wenn dann das Skalarprodukt bilde (wobei natürlich nur eine Ungleichung entsteht, danke smile

) habe ich
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -5 \\ -12 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} hx \\ hy \\ hz \end{pmatrix} \leq 0 <br /> \Leftrightarrow -5hx-12hy \leq 0 <br /> \Leftrightarrow -h(5x+12y) \leq 0 <br /> \Leftrightarrow h(5x+12y) \geq 0 \end{eqnarray*}$
Und damit würde sich doch ergeben dass
- $\begin{eqnarray*} h\geq 0 \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} x,y\geq 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y\leq 0, x \geq \frac{-12}{5}y \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x\leq 0, y \geq \frac{-5}{12}y \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ beliebig

02.07.2016, 12:30

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RE: Menge aller Abstiegsrichtungen bestimmen
Das kommt davon, wenn man schlampig arbeitet: Die Richtung ist $\begin{eqnarray*} (h_x,h_y,h_z) \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} (hx,hy,hz) \end{eqnarray*}$ und deswegen kannst du da auch kein h ausklammern unglücklich

Das liefert $\begin{eqnarray*} -5h_x-12h_y\leq 0 \end{eqnarray*}$ .
Wie sieht das geometrisch aus? $\begin{eqnarray*} -5h_x-12h_y = 0 \end{eqnarray*}$ ist eine Ebene im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ durch den Nullpunkt mit Normalenvektor $\begin{eqnarray*} (-5,-12,0) \end{eqnarray*}$ . Die Lösungsmenge ist also ein Halbraum.

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