Methode der kleinsten Quadrate Herleitung

02.07.2016, 10:56	InternetSecurity	Auf diesen Beitrag antworten »
Methode der kleinsten Quadrate Herleitung Meine Frage: Ich soll bzgl. der Methode der kleinsten Quadrate für eine lineare Funktion f(x)=ax+b (mit N Messwertepaaren) die Konstanten a und b bestimmen. Meine Ideen: Nach meiner Rechnung kommt heraus: Nach Berechnung der partiellen Ableitungen hab ich das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} Nb+a\sum\limits_{i=1}^{N} X_{i}= \sum\limits_{i=1}^{N} Y_{i} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b\sum\limits_{i=1}^{N} X_{i} + a \sum\limits_{i=1}^{N} X_{i}^{2} = \sum\limits_{i=1}^{N} X_{i}Y_{i} \end{eqnarray}$ Passt das noch soweit? Ich habe also die erste Gleichung nach b aufgelöst und in die zweite eingesetzt, dann kommt nach Auflösung nach a folgendes raus: $\begin{eqnarray} a = \frac{N\overline{XY}-\overline{X} \ \overline{Y}}{N\overline{X^{2}}-\overline{{X}}^2} \end{eqnarray}$ Die Lösung soll nach Aufgabenstellung aber sein: $\begin{eqnarray} a = \frac{\overline{XY}-\overline{X} \ \overline{Y}}{\overline{X^{2}}-\overline{{X}}^2} \end{eqnarray}$ Also dasselbe nur ohne die beiden N. Weiß jemand, wo mein Fehler liegen könnte?
03.07.2016, 09:22	InternetSecurity	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Methode der kleinsten Quadrate Herleitung Vielleicht muss ich die Frage genauer formulieren. Ich verstehe nicht, wie ich bei $\begin{eqnarray} a = \frac{\overline{XY}-\overline{X} \ \overline{Y}}{\overline{X^{2}}-\overline{{X}}^2} \end{eqnarray}$ bei den beiden Minuenden der Mittelwert zustande kommt. Aus der ersten Gleichung bekomme ich ja $\begin{eqnarray} b=\overline{Y}-a\overline{X} \end{eqnarray}$ . Setze ich b dann in die zweite Gleichung ein, bekomme ich die beiden Terme, bei denen durch N geteilt wird, also die Mittelwerte. Aber wie werden aus $\begin{eqnarray} a \sum\limits_{i=1}^{N} X_{i}^{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{N} X_{i}Y_{i} \end{eqnarray}$ Mittelwerte? Dafür müsste ich doch noch durch N teilen, aber wo soll das herkommen? Bitte um Hilfe!!!
03.07.2016, 19:47	sockenschuss	Auf diesen Beitrag antworten »
Check mal deine erste Glg durch. Ich glaub du hast da a und b vertauscht. Hab aber keinen Bock das jetzt alles nachzurechnen...
04.07.2016, 08:06	InternetSecurity	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs nochmal überprüft, aber die beiden Gleichungen passen, auch Wikipedia und co. gehen da noch konform. Das Problem ist nur, dass ich bei der Auflösung bei den beiden Termen $\begin{eqnarray} a \sum\limits_{i=1}^{N} X_{i}^{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{N} X_{i}Y_{i} \end{eqnarray}$ keine Mittelwerte herkriege.
04.07.2016, 08:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Dividieren wir beide Ausgangsgleichungen durch $\begin{align} N \end{align}$ , so ergibt sich mit $\begin{align} \overline{X} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i,\; \overline{Y} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N Y_i,\; \overline{X^2} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i^2,\; \overline{XY} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_iY_i\qquad () \end{align}$ dann das Gleichungssystem $\begin{align} b+a\overline{X} &= \overline{Y}\\ b\overline{X} + a\overline{X^2} &= \overline{XY} \end{align}$ Wieso bei der Lösung dieses Gleichungssystems bei dir dann noch die $\begin{align} N \end{align}$ auftauchen, ist mir ein Rätsel: Aus dem Gleichungssystem ist es doch verschwunden, da tauchen nur noch die vier Mittelwerte auf, nicht aber $\begin{align} N \end{align}$ selbst. Ich schätze man, du hast mindestens eine der vier Mittelwerte () nicht richtig umgesetzt.

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