Konvergenz in Verteilung |
| 02.07.2016, 17:54 | loui2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Konvergenz in Verteilung Hallo, die Aufgabe vor der ich stehe ist die: Seien X1, X2,... unabhängige Zufallsvariablen mit Xk gleichverteilt auf dem Intervall [0,k] fur alle k=1,2,.. Zeigen Sie, dass in Verteilung konvergiert und bestimmen Sie die Grenzwertverteilung. Meine Ideen: Ich komme noch soweit, die Verteilungsfunktionen für n=1 oder 2 aufzustellen, aber spätestens bei n=3 ist Schluss, wie ich das einer Summe von unendlich vielen Zufallsvariablen machen soll, keine Ahnung. Eine andere Idee wäre noch, fast sichere Konvergenz zu zeigen, weil daraus ja Konvergenz in Vert. folgt aber das klappt irgendwie auch nicht. Ich würde mich über einen Tipp freuen. |
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| 02.07.2016, 18:12 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich nehme mal an, du hast verschiedene Formen des ZGWS (Zentraler Grenzwertsatz) kennengelernt - auch die hier? 
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| 02.07.2016, 22:15 | loui2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja den kenne ich, aber kann man den denn hier einsetzen? Dafür muss doch der Erwartungswert null sein, oder nicht? Aber erstmal danke, dann probier ich es damit mal. |
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| 03.07.2016, 14:03 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nun, deine Zufallsgröße hat zwar nicht direkt den Erwartungswert Null, aber zumindest asymptotisch für . 
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| 03.07.2016, 15:53 | loui2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja stimmt der Erwartungswert ist , konvergiert also gegen 0, aber wie hilft mir das weiter, denn die Voraussetzung ist doch, dass er für alle n gleich 0 ist? Hilft es mir wenn ich die ZV irgendwie auseinanderziehe? |
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| 03.07.2016, 16:16 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stelle doch erstmal die Zufallsgröße auf, die gemäß ZGWS (Ljapunow) in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung konvergiert - bzw. begründe auch, dass das überhaupt anwendbar ist (Voraussetzungen überprüfen!). Anschließend kann man sich überlegen, durch welche einfache Transformation diese Zufallsgröße mit der oben zu tun hat, und was das für für die Verteilung bedeutet. |
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| 03.07.2016, 18:58 | loui2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich glaub ich habs verstanden: Ich subtrahiere einfach noch ein dazu, dann wird der Erwartungswert 0, die Varianz 1 und die Ljapunov Bedingung wird auch erfüllt, also konvergiert das Ganze gegen N(0,1). Und da für n gegen unendlich sowieso null wird, ändert sich das Konvergenzverhalten nicht, wenn ich das wieder weglasse? |
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| 03.07.2016, 20:21 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hatte eigentlich erwartet, dass du mal auch formelmäßig ein paar deiner Überlegungen präsentierst. Ich verrate ja jetzt nicht mehr so viel wenn ich sage, dass am Ende eine Normalverteilung herauskommen wird - aber welche? Jedenfalls nicht eine Standardnormalverteilung. 
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