Eigenwerte Polynom

02.07.2016, 18:33	Sophia Ede	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte Polynom Meine Frage: Hallo, ich weiß zwar was das charakteristische Polynom ist und wie ich Eigenwerte berechne, jedoch weiß ich nicht wie und wo ich bei der folgenden Aufgabe ansetzen soll, kann mir dabei villeicht jemand weiterhelfen? Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} A \in M_{n,n} \end{eqnarray}$ und besitze die rellen Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda_{1}, \lambda_{2}, ..., \lambda_{n} \end{eqnarray}$ . Weisen Sie nach: $\begin{eqnarray} det(A) =\prod\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} \end{eqnarray}$ (Hinweis: sie dürfen als bekannt voraussetzen: Jedes Polynom mit n rellen Nullstellen kann in der Form $\begin{eqnarray} p_{n} = a_{n} \prod\limits_{i=1}^{n}(x-x_{i}) \end{eqnarray}$ geschrieben werden und für das charakteristische Polynom gilt $\begin{eqnarray} a_{n} = (-1)^{n} \end{eqnarray}$ ) Meine Ideen: EDIT(Helferlein): Summen- durch Produktzeichen ersetzt.
02.07.2016, 19:08	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte Polynom $\begin{eqnarray} \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda E)=(-1)^n\lambda^n+\cdots+a_0=(-1)^n\prod_{i=1}^n(\lambda-\lambda_i) \end{eqnarray}$ . Beschaeftige Dich mit $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ .
02.07.2016, 19:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Damit steht schon alles da. siehe hier : https://de.wikipedia.org/wiki/Charakteristisches_Polynom ("Zusammenhang mit Eigenwerten")
02.07.2016, 22:37	Sophia Ede	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte Polynom Also ich habe mir das Charakteristische Polynom in Wikipedia nochmals angeschaut und komme durch einsetzen des Hinweises und der polynomfunktion des Charakteristische Polynom's auf die folgende Formel: $\begin{eqnarray} <br /> \chi_A(\lambda) = \det(A-\lambda E) = \lambda^{n} - a_{1} \lambda^{n-1} + a_{2} \lambda^{n-2} - ... + (-1)^{n} a_{n} = (-1)^{n} \prod_{i=1}^n(\lambda-\lambda_i)<br /> \end{eqnarray}$ 005 hatte ja dieselbe Formel, was wollte er mir jedoch mit "Beschäftige dich mit $\begin{eqnarray} a_{0} \end{eqnarray}$ " sagen? Das ist mir noch nicht ganz klar oder ist das der Wert der durch die determinanten berechnung rauskommt?
03.07.2016, 09:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt leicht unterschiedliche Bezeichnungen für das charakteristische Polynom. 005 und Du schreiben $\begin{eqnarray} \chi_A(\lambda)=det(A-\lambda E) \end{eqnarray}$ , wiki schreibt $\begin{eqnarray} \chi_A(\lambda)=det(\lambda E-A) \end{eqnarray}$ , dadurch ergeben sich andere Vorzeichen. Außerdem benennen 005 und wiki die Koeffizienten unterschiedlich von $\begin{eqnarray} a_{n-1} \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ bzw. von $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ . 005 hat nicht sonderlich auf die Vorzeichen geachtet, Du hast es geschafft, alles so zu vermischen, dass es nicht passt, aber im Prinzip meinen alle das Gleiche. Ja, der Koeffizient $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ mit dem richtigen Vorzeichen ist die determinante von A und ist das Produkt der Eigenwerte. Vorschlag: Benutze $\begin{eqnarray} \chi_A(\lambda)=det(A-\lambda E) \end{eqnarray}$ und schreibe den wiki-Beweis entsprechend um.
03.07.2016, 16:16	Sophia Ede	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh kk, warum haben die auf Wikipedia dies denn so aufgelöst, gibt es da ein spezielles verfahren oder brauch ich mir da keine weiteren Gedanken machen? Also müsste das jetzt die Lösung sein? $\begin{eqnarray} <br /> \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda E) = \lambda^{n} + a_{1} \lambda^{n-1} - a_{2} \lambda^{n-2} + ... + (-1)^{n} a_{n} = (-1)^{n} \prod_{i=1}^n(\lambda-\lambda_i)<br /> \end{eqnarray}$
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03.07.2016, 18:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch muss man sich Gedanken machen. Wiki sagt, dass das char.Pol. normiert sein soll, bei der für uns üblichen Schreibweise beginnt es aber mit $\begin{eqnarray} (-\lambda)^n \end{eqnarray}$ , und dann wechseln die Vorzeichen. Entscheide dich für eine Variante und zieh das dann durch, geschenkt gibt's das nicht. Du musst auch nicht nur diese Gleichungen aufschreiben, du musst den Beweis von wiki verstehen und umformulieren. 005 sagt "beschäftige dich mit $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ " , damit hat er sicher nicht gemeint, dass du nur $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ oder was auch immer hinschreiben sollst.

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