Eindimensionale Lineare Abbildung

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02.07.2016, 22:48	Eva A.	Auf diesen Beitrag antworten »
Eindimensionale Lineare Abbildung Meine Frage: Hallo, ich bin mir bei meiner Lösung nicht ganz sicher und würde mich freuen, wenn jemand mir ein ausfühliches feedback dazu geben könnte. Aufgabe: Sei T Lineare Abbildung mit T: R -> R. Leiten Sie explizit her, wie diese Abbildung(funktion) auf dem R^1 konkret aussieht, d.h. wie die Funktionsvorschrift lautet. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} <br /> \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb R \lambda \in \mathbb R<br /> <br /> \vec{x} + \vec{y} \in \mathbb R<br /> \vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x}<br /> \vec{x} \lambda \in \mathbb R<br /> \end{eqnarray}$
03.07.2016, 10:11	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe da keine Antwort, sondern nur ein paar zusammenhanglose Aussagen. Wie lautet denn nun die Funktionvorschrift?
03.07.2016, 15:49	Eva A.	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich glaube ich brauch dann doch ein wenig mehr Hilfe, als ich ursprünglich gedacht habe. Kann mir jemand einen Tipp geben?
03.07.2016, 16:32	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Unter einer Funktionsvorschrift versteht man eine Gleichung der Art $\begin{align} f(x)= ~... \end{align}$ Du kennst offensichtlich die Bedingungen einer linearen Abbildung. Du musst sie nun geeignet einsetzen. Gehe am besten erst einmal davon aus, dass Du einen Wert $\begin{align} f(x_0) \end{align}$ kennst. Was lässt sich daraus unter Ausnutzung der Linearitätseigenschaften folgern?
04.07.2016, 10:27	Eva A.	Auf diesen Beitrag antworten »
Also soll ich mir das so vorstellen $\begin{eqnarray} <br /> f(x_{0}) = x_{0}<br /> \end{eqnarray}$
04.07.2016, 10:34	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du sollst dir vorstellen, daß x_0 auf $\begin{eqnarray} f(x_{0}) \end{eqnarray}$ abgebildet wird. Auf was muß dann aufgrund der Linearität von f das $\begin{eqnarray} \lambda \cdot x_0 \end{eqnarray}$ abgebildet werden?
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04.07.2016, 12:23	Eva A.	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> \lambda x_{0} = f(\lambda x_{0}) \| \lambda \in \mathbb R \wedge x_{0} \in \mathbb R<br /> <br /> \end{eqnarray*}$ also muss ich nur das zeigen?
04.07.2016, 13:08	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn das so wäre, wäre f die Identitätsabbildung. Diese ist zwar auch linear, aber darum geht es hier nicht. Es geht darum, daß du eine lineare Abbildung f von R nach R hast und jetzt herausfinden sollst, wie eine derartige Abbildung allgemein aussieht. Wir nehmen jetzt also eine Abbildung f, die x auf f(x) abbildet, symbolisch geschrieben: x --> f(x). Jetzt überlegen wir, auf was x_0 * 1 abgebildet wird. Dabei betrachten wir x_0 als Skalarfaktor (also sozusagen als lambda) und nutzen die Linearität von f.
04.07.2016, 13:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Skizziere in einem cartesischen Koordinatensystem eine lineare Funktion y=f(x), indem Du die Punkte (1,f(1)), (2,f(2)),(0,f(0)),(-1,f(-1)),(-2,f(-2)) einzeichnest. Bedenke f(n1)=nf(1). Spätestens jetzt muss Dir eine Idee kommen, wie die linearen reellen reellwertigen Funktionen aussehen. Beweise Deine Idee.
04.07.2016, 18:49	Eva A.	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist das nun die Lösung, wenn nicht bin ich echt verzweifelt -.- $\begin{eqnarray} <br /> {(f:\mathbb R -> \mathbb R \| \exists \lambda \in \mathbb R \forall x \in \mathbb R f(x) = \lambda x)}<br /> =><br /> f(x) + f(y) = \lambda x + \lambda y =\lambda (x + y) = f(x + y)<br /> <br /> \alpha f(x) = \alpha \lambda x = f(x) <br /> <br /> y, \alpha \in \mathbb R<br /> \end{eqnarray*}$
04.07.2016, 19:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist die Lösung ! Aber Dein Beweis ist noch nicht richtig.
04.07.2016, 20:04	Eva A.	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind beide Beweise Falsch?? Da wenn überhaupt für mich die Multiplikation falsch wäre also: $\begin{eqnarray} \alpha f(x) = \alpha \lambda x = \alpha f(x) \end{eqnarray*}$ ???
05.07.2016, 08:34	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du jetzt am Ende das gleiche wie am Anfang stehen. So funktioniert es: $\begin{eqnarray} \alpha f(x) = \alpha \lambda x = \lambda \cdot \alpha x = ... \end{eqnarray*}$
05.07.2016, 11:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Schade nur, dass das immer noch kein Beweis ist. Damit ist nur gezeigt $\begin{eqnarray} f(x)=\lambda x\Rightarrow f:\mathbb R\to \mathbb R \end{eqnarray}$ linear. Zu zeigen ist $\begin{eqnarray} f:\mathbb R\to \mathbb R \end{eqnarray}$ linear $\begin{eqnarray} \Rightarrow\exists \lambda\in \mathbb R:f(x)=\lambda x \end{eqnarray}$ Hinweis: Benutze die Standardbasis von $\begin{eqnarray} \mathbb R=\mathbb R^1 \end{eqnarray}$ , benutze die Tatsache dass eine lineare Selbstbbildung (Endomorphismus) bezüglich einer Basis eine Darstellungsmatrix hat, und benutze die Tatsache, dass in den Spalten der Matrix die Bilder der Basisvektoren stehen.

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