Besitzt Zufallsvariable einen Erwartungswert

03.07.2016, 03:55

Phanta

Besitzt Zufallsvariable einen Erwartungswert

Hallo!

bei folgender Aufgabe bin ich etwas unsicher:

Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit dem Wertebereich

$\begin{eqnarray*} W(X) = \left\{ \frac{2^k}{k} : k \in \mathbb{N}\setminus\{1\}\right\} \cup \left\{ -\frac{2^k}{k} : k \in \mathbb{N}\setminus\{1\}\right\} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} P\left( X = \frac{2^k}{k}\right) = P\left( X = -\frac{2^k}{k}\right) = 2^{-k} \ \ \mbox{für} \ \ k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass eine diskrete Zufallsvariable X genau dann einen Erwartungswert besitzt, wenn

$\begin{eqnarray*} \sum_{x \in W_X} | x | P(X=x) < \infty \end{eqnarray*}$

Also die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{x \in W_X} | x | P(X=x) \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert.

Nun habe ich folgende Fragen zu obiger Aufgabe:

Warum wird die $\begin{eqnarray*} \{1\} \end{eqnarray*}$ ausgeschloßen?

Weiter bin ich etwas unsicher, ob der Ansatz

$\begin{eqnarray*} \sum_{x \in W_X} \left| \frac{2^k}{k} \right| \frac{1}{2^k} = \sum_{x \in W_X} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

zielführend bzw überhaupt ansatzweise korrekt ist. Irgendwie kommt mir das nicht ganz koscher vor. Damit wäre aufgrund der Konvergenz der geometrischen Reihe die Aufgabe bereits gelöst.

Was muss ich also beachten bzw was übersehe ich grundlegendes?

Freue mich über jeden Hinweis!

LG
Qqerty

03.07.2016, 10:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von Phanta
Warum wird die $\begin{eqnarray*} \{1\} \end{eqnarray*}$ ausgeschloßen?

Die Gesamtwahrscheinlichkeit (=Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten) muss gleich 1 sein. Schon mal nachgerechnet, was passieren würde, wenn man die 1 einbezieht? Augenzwinkern

03.07.2016, 19:26

Phanta

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Hallo HAL 9000!

du hast natürlich recht! Das hab ich doch tatsächlich vollkommen übersehen. Vielen Dank für den Hinweis.

Kannst du mir etwas zu meiner Überlegung bzgl der geometrischen Reihe sagen? Ist mein Ansatz bzw meine Überlegung richtig oder habe ich etwas wichtiges außer Acht gelassen?

Vielen Dank für deine Rückmeldung
LG
Phanta

03.07.2016, 20:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von Phanta
Weiter bin ich etwas unsicher, ob der Ansatz

$\begin{eqnarray*} \sum_{x \in W_X} \left| \frac{2^k}{k} \right| \frac{1}{2^k} = \sum_{x \in W_X} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

zielführend bzw überhaupt ansatzweise korrekt ist. [...] Damit wäre aufgrund der Konvergenz der geometrischen Reihe die Aufgabe bereits gelöst.

Deine Summenschreibweise ist schlampig, insbesondere was die Indizierung betrifft. unglücklich

Hier wäre passend

$\begin{align*} \sum_{x \in W_X} |x|\cdot P(X=x) = 2\sum_{k=2}^{\infty} \frac{2^k}{k} \cdot \frac{1}{2^k} = 2\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k} \end{align*}$ .

Und was da rechts steht ist keine geometrische Reihe, sondern ... ?

03.07.2016, 21:03

Phanta

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Zitat:

Original von HAL 9000

Deine Summenschreibweise ist schlampig, insbesondere was die Indizierung betrifft. unglücklich

Ohja, allerdings! Danke dir. Das hatte ich ganz vergessen zu korrigieren.

Zitat:

Original von HAL 9000
Hier wäre passend

$\begin{align*} \sum_{x \in W_X} |x|\cdot P(X=x) = 2\sum_{k=2}^{\infty} \frac{2^k}{k} \cdot \frac{1}{2^k} = 2\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k} \end{align*}$ .

Und was da rechts steht ist keine geometrische Reihe, sondern ... ?

die harmonische Reihe. Allerdings sehe ich noch nicht, wie die 2 vor der Reihe entsteht. Kannst du mir hier einen Hinweis liefern?

Die harmonische Reihe divergiert ja. Demnach hat die Zufallsvariable X also keinen Erwartungswert.

Vielen Dank für Deine Hilfe!
LG
Phanta

03.07.2016, 21:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von Phanta
Allerdings sehe ich noch nicht, wie die 2 vor der Reihe entsteht. Kannst du mir hier einen Hinweis liefern?

Den "negativen" Zweig hast du wohl vergessen? Eigentlich startet die Berechnung ja mit

$\begin{align*} \sum_{x \in W_X} |x|\cdot P(X=x) = \sum_{k=2}^{\infty} \left| \frac{2^k}{k} \right| \cdot \frac{1}{2^k} + \sum_{k=2}^{\infty} \left| -\frac{2^k}{k} \right| \cdot \frac{1}{2^k} \end{align*}$ ,

ich hoffe mal, das klärt die Nachfrage.

03.07.2016, 21:14

Phanta

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Super! Das war der entscheidende Hinweis. Vielen Dank für deine Hilfe. Freude

LG,
Phanta

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