Umformungen eines Quotientenrings

04.07.2016, 10:34

Shalec

Umformungen eines Quotientenrings

Hallo allerseits,
ich möchte die Dimension von R bestimmen. Dabei ist
$\begin{eqnarray*} R= \mathbb C[x,y,z]/(x^2-y^2, z^2x-z^2y) \end{eqnarray*}$

Nun habe ich mir insbesondere die Äquivalenzklasse $\begin{eqnarray*} z^2x = z^2y \end{eqnarray*}$ angeschaut und mittels der linkskürzungsregel in kommutativen Ringen $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ gefolgert. (Erste Frage: Ist das so ok, oder habe ich hier was übersehen und falsch gemacht?)

Damit lässt sich R reduzieren zu $\begin{eqnarray*} R=\mathbb C[x,y]/(x-y) \end{eqnarray*}$ (Ist das richtig?)

Da hier $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ gilt, kann ich R noch weiter reduzieren, auf $\begin{eqnarray*} R=\mathbb C[x] \end{eqnarray*}$

Damit wäre dann die Dimension von R $\begin{eqnarray*} dim R =1 \end{eqnarray*}$ .

Wie man sieht, habe ich hier mit "Was darf ich und wieso überhaupt" Probleme und würde diese gerne beseitigen. Kann mir dazu jemand gezielt Literatur empfehlen?

Viele Grüße und danke

06.07.2016, 12:34

Shalec

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Ich bräuchte immernoch jemanden, der einmal drüber schaut. Ich denke, dass das nicht korrekt ist, da das "z" verschwindet.

Könnte mir jemand sonst einfach einmal eine Rechnung an einem beliebigen Beispiel präsentieren oder einen Link irgendwo hin geben, wo ich sowas mal nachvollziehen kann? Es muss doch "Rechenregeln" geben. Ich werde unabhängig davon einmal in der Literatur (vermutlich Bosch) nachschauen, wie solche Ringe genau definiert sind. (In meinen Vorlesungen habe ich dafür noch keine Definition kennen gelernt, nur eine vage Vorstellung entwickeln können.)

Viele Grüße

06.07.2016, 13:16

tatmas

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Hallo,

das mit dem z "kürzen" ist absolut falsch.
Der Rest danach würde stimmen, wäre allerdings auch komplett überflüssig, da du ja bereits bei der "Kürzung" x=y gefolgert hast.

Das Themengebiet ist kommutative Algebra. Das geht etwas über den Bosch raus.
Nimm ein kommutatives Algebra Buch zur Hand wie z.B. die Klassiker Eisenbud oder Atiyah-MacDonald.

Zitat:

wie solche Ringe genau definiert sind.

Das ist eine etwas seltsame Aussage.
Die weißt nicht was Quotientenringe sind? Dann sofort zurück zu den Grundlagen. Quotientenbildung ist ein sehr, sehr zentrales Konzept der Algebra.

06.07.2016, 17:19

Shalec

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Ok, anderer Ansatz:

Ich habe bereits bewiesen, dass folgendes Lemma gilt:

Ist $\begin{eqnarray*} R\subset R' \end{eqnarray*}$ eine ganze Ringerweiterung und $\begin{eqnarray*} \phi:\ S\to R' \end{eqnarray*}$ ein injektiver Ringhomomorphismus, dann ist S ganz über R.

Nun betrachte ich wieder $\begin{eqnarray*} z^2x = z^2y \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$ und identifiziere die Äquivalenzklassen zweier Erzeuger. Damit sind die Erzeuger von R: (die Äquivalenzklassen von) $\begin{eqnarray*} \bar x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bar z \end{eqnarray*}$ .

Definiere: $\begin{eqnarray*} \phi:\ R\to \mathbb C[x,z], \bar x \mapsto x, \bar z \mapsto z \end{eqnarray*}$ ein wohldefinierter, injektiver Ringhomomorphismus. (Basis wird auf Basis abgebildet)

Da $\begin{eqnarray*} \mathbb C[x,z] \end{eqnarray*}$ ganz abgeschlossen ist, ist damit $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ganz über $\begin{eqnarray*} \mathbb C[x,z] \end{eqnarray*}$ .
Nach einem Lemma der VL ist damit
$\begin{eqnarray*} dim R = dim \mathbb C[x,z] = 2 \end{eqnarray*}$ .

06.07.2016, 17:34

tatmas

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Zitat:

Nun betrachte ich wieder $\begin{eqnarray*} z^2x = z^2y \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$ und identifiziere die Äquivalenzklassen zweier Erzeuger. Damit sind die Erzeuger von R: (die Äquivalenzklassen von) $\begin{eqnarray*} \bar x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bar z \end{eqnarray*}$ .

Die Vorgehensweise wird durch Wiederholung nicht richtiger.
Aus z²x=z²y folgt übrigens z=0 oder x=y.

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} R\subset R' \end{eqnarray*}$ eine ganze Ringerweiterung und $\begin{eqnarray*} \phi:\ S\to R' \end{eqnarray*}$ ein injektiver Ringhomomorphismus, dann ist S ganz über R.

Die komplexen Zahlen sind eine ganze Ringerweiterung der reellen Zahlen.
Ich nehm die Standardeinbettung der rationalen Zahlen in die komplexen Zahlen.
Demnach wären dierationalen Zahlen eine ganze Erweiterung der reellen.
Irgendwas stimmt hier vorn und hinten nicht.

Welche Dimension willst du überhaupt berechnen? Es gibt ein paar davon.

06.07.2016, 18:37

Shalec

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Als Dimension will ich die Krulldimension berechnen.

Der Beweis zu dem Lemma geht wie folgt:

Da R' ganz über R existiert ein normiertes Polynom mit $\begin{eqnarray*} \phi(s)^n + c_{n-1}\phi(s)^{n-1}+...+c_0=0 \end{eqnarray*}$ nach Definition eines Ringhom. gilt aber: ( $\begin{eqnarray*} s\in S\ und\ c_0,...,c_{n-1}\in R \subset R' \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} \phi(s)^n + c_{n-1}\phi(s)^{n-1}+...+c_0= \phi(s^n + c_{n-1}s^{n-1}+...+c_0)=0 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ injektiv folgt damit: $\begin{eqnarray*} s^n + c_{n-1}s^{n-1}+...+c_0 = 0 \end{eqnarray*}$ . Damit existiert ein normiertes Polynom über R mit s als Nullstelle.

Ich sehe aber gerade, dass das nur für R-Moduln S geht. Da ich hier nicht die Definition eines Ringhom. sondern eines R-Modulhom. verwende. Also muss S ein R-Modul sein.

Macht aber hier nichts kaputt, denn das definierte $\begin{eqnarray*} R=\mathbb C[x,y,z]/(x^2-y^2, z^2x-z^2y) \end{eqnarray*}$ ist ein $\begin{eqnarray*} \mathbb C[x,z]- \end{eqnarray*}$ Modul. D.h. ist $\begin{eqnarray*} x-y=0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} dim R = 2 \end{eqnarray*}$ .

Bleibt also der Fall $\begin{eqnarray*} z^2=0 \end{eqnarray*}$ .

Im Allgemeinen kann ich Primideale J aus R mit Primidealen P aus $\begin{eqnarray*} \mathbb C[x,y,z] \end{eqnarray*}$ identifizieren, sodass $\begin{eqnarray*} (x^2-y^2), (z^2(x-y))\subset P \end{eqnarray*}$ gilt. Diese lassen sich dann im obigen Fall mit Primidealen $\begin{eqnarray*} P'\subset \mathbb C[x,y] \end{eqnarray*}$ identifizieren, für die $\begin{eqnarray*} (x^2-y^2)\subset P' \end{eqnarray*}$ gilt. Da $\begin{eqnarray*} x^2-y^2=(x-y)(x+y) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (x-y)\subset P' \vee (x+y)\subset P' \end{eqnarray*}$ (Da P ein Primideal ist.)
Damit finde ich eine Kette $\begin{eqnarray*} (0)\subsetneq (x-1)\subsetneq P' \end{eqnarray*}$ von Primidealen und kann folgern $\begin{eqnarray*} codim(P)\geq 2 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} dim \mathbb C[x,y] =2 \end{eqnarray*}$ gilt sogar Gleichheit.

Mache ich nun das alles Rückgängig, erhalte ich: $\begin{eqnarray*} codim J =2 \end{eqnarray*}$ . Für die Krulldimension gilt dann $\begin{eqnarray*} dim R \geq 2 \end{eqnarray*}$ .

Bei deinem ersten Post dachte ich " $\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ herausteilen" im Sinne von $\begin{eqnarray*} ...=\mathbb C[x,y]/(x-y) \end{eqnarray*}$ ist keine korrekte Umformung. Ich sehe es aber ein. smile

Ich hoffe, dass meine Argumentation richtig und nachvollziehbar ist.

06.07.2016, 23:25

tatmas

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Das sieht jetzt deutlich besser aus, insbesondere, da du mit Idealen rechnest.

07.07.2016, 13:56

Shalec

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Lassen sich aus meinen Berechnungen die maximalen Ideale des Ringes bestimmen?
Ich hatte gehofft, dass ich eine Abbildung auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C[x,z] \end{eqnarray*}$ hinbekomme (vielleicht durch die noether normalisierung?) sodass ich dann die maximalen Ideale in diesem Ring mti denen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb C[x,z] \end{eqnarray*}$ identifizieren könnte.

Ich habe noch eine Frage, kann sie aber erst später editieren. unglücklich

Es geht im Allgemeinen über die "Identifikation". Dazu muss ich aber erst was nachschlagen.
Inhalt der Frage wird wohl sein: Kann ich jedes maximale Ideal mit einem in $\begin{eqnarray*} \mathbb C[x,z] \end{eqnarray*}$ identifizieren?

Viele Grüße

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