Gleichungssysteme mit Sinus und Cosinus

04.07.2016, 18:05

daniel-leon

Gleichungssysteme mit Sinus und Cosinus

Meine Frage:
Hallo liebes Forum

Ich hänge fest bei einer etwas unkonventionellen, aber interessanten Aufgabe:

Berechne die cos^3(x)+sin^3(x), wenn gilt: cosx + sinx = 0.5

Meine Ideen:
Bis jetzt habe ich folgendes geschafft:

Mithilfe der Binomischen Formel und der "Nebenbedingung" cosx + sinx = 0.5 kann man den Term umschreiben in 0.5(1 - cosx sinx). Aber jetzt? Ich habe es mit der Doppelwinkelidentität versucht, hat (mir) nichts gebracht. Und wie ich die Gleichung cosx + sinx = 0.5 lösen kann (ohne TR), weiß ich auch nicht...

Vielen lieben Dank für Eure Hilfestellungen

04.07.2016, 18:57

daniel-leon

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RE: Gleichungssysteme mit sinus und cosinus (Knobeln...)
Auch der Versuch, durch Substitution ein Polynom zu erzeugen und dieses dann zu lösen bringt mich nicht weiter. Nichts aus meiner Trickkiste hat funktioniert... Ihr seid gefragt!

04.07.2016, 19:15

HAL 9000

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Es ist $\begin{align*} a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \end{align*}$ .

Außerdem wissen wir im Fall $\begin{align*} a=\cos(x),b=\sin(x) \end{align*}$ auch noch $\begin{align*} a^2+b^2=1 \end{align*}$ . Geschickt kombinieren, fertig. Augenzwinkern

04.07.2016, 19:46

willyengland

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Es gibt folgendes Additionstheorem:

$\begin{eqnarray*} 0,5=cos x + sin x = \sqrt{2}*sin(x+\pi /4) \end{eqnarray*}$

Damit kannst du auf jeden Fall x ausrechnen (-0,424).

04.07.2016, 20:22

daniel-leon

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@ HAL 9000: Danke für die Antwort, das ist ja genau das was ich versucht habe. Muss man am Ende ein Polynom 3. Grades lösen oder gibts da auch was "geschickteres"?

04.07.2016, 20:29

HAL 9000

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Weiter umgeformt ist

$\begin{align*} a^3+b^3 = \frac{1}{2}(a+b)\left(3a^2+3b^2-(a^2+2ab+b^2)\right) = \frac{1}{2}c\left(3-c^2\right) \end{align*}$ ,

wenn man $\begin{align*} c=a+b \end{align*}$ setzt sowie $\begin{align*} a^2+b^2=1 \end{align*}$ nutzt.

04.07.2016, 22:15

willyengland

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Boah eyh!
Da soll ein "normaler Mensch" drauf kommen?

Hut ab!

04.07.2016, 22:22

daniel-leon

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Vielen Dank Euch beiden, Ihr lagt beide richtig. Das mit dem Substituieren ist eine gute Idee, um sich etwas Übersicht zu verschaffen! Damit wäre das Problem gelöst und ich komme mir mal wieder schön dumm vor Big Laugh

Schönen Abend, LG Daniel

05.07.2016, 08:56

willyengland

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Zitat:

Original von HAL 9000
Weiter umgeformt ist

$\begin{align*} a^3+b^3 = \frac{1}{2}(a+b)\left(3a^2+3b^2-(a^2+2ab+b^2)\right) = \frac{1}{2}c\left(3-c^2\right) \end{align*}$ ,

wenn man $\begin{align*} c=a+b \end{align*}$ setzt sowie $\begin{align*} a^2+b^2=1 \end{align*}$ nutzt.

Mich würde interessieren, wie man auf diese Lösung kommt.
Für mich ist das reine Magie.

05.07.2016, 17:15

IfindU

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Die Frage ist nur wie man $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ anders ausdrücken kann. Ich hätte z.B. $\begin{eqnarray*} (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \end{eqnarray*}$ genommen und nach $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ umgestellt. Alles was HAL gemacht hat ist es direkt einzusetzen und etwas schöner umzuformen.

Hätte man $\begin{eqnarray*} \sin(x) - \cos(x) \end{eqnarray*}$ gekannt, wäre es mit $\begin{eqnarray*} (a-b)^2 \end{eqnarray*}$ genauso gut gegangen.

05.07.2016, 17:21

HAL 9000

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So ist es: Nix mit Magie.

Man hätte auch $\begin{align*} (a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) \end{align*}$ nutzen können, was zu $\begin{align*} a^3+b^3 = c^3-3abc \end{align*}$ führt und dann das von IfindU erwähnte umgestellte $\begin{align*} ab=\frac{(a+b)^2-a^2-b^2}{2} = \frac{c^2-1}{2} \end{align*}$ dort einsetzen. Es gibt hier viele Möglichkeiten jenseits aller Magie. Augenzwinkern

05.07.2016, 17:46

willyengland

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Ok, jetzt hab ich es auch. smile

Aber von alleine wäre ich da nie drauf gekommen.

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