Logarithmus Problem

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Dirk55 Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmus Problem
Meine Frage:
Siehe Bild.

Meine Ideen:
Ich habe es folgendermaßen umgeschrieben:

x^-2 >= 1/2

bzw.

1/x^2 <= 1/2


Jedoch komme ich damit nicht auf die Lösung.

Wo liegt der Fehler ?
Dirk55 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithms Problem
* x^-2 <= 1/2 Natürlich !
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die "Umschreibung" ist richtig, allerdings nur im Fall .

Der andere Fall ist extra zu untersuchen.
Dirk55 Auf diesen Beitrag antworten »

Bestandteil der Lösung ist, dass x>1 sein muss jedoch komme ich nicht darauf wenn ich den Ausdruck so umschreibe.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Exponentialfunktion ist monoton wachsend auf ganz für Parameter , und sie ist monoton fallend auf ganz für Parameter .

Für gilt daher

,

und wegen ist das gleichbedeutend mit

.


Für folgt aus der oben erwähnten fallenden Monotonie dagegen

.
Dirk55 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dass ist mir bewusst.

Jedoch komme ich auf keine Lösung x>1..
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja auch nicht die Lösung, sondern , wobei sich die rechte Grenze als Umformung von ergibt.
Dirk55 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die rechte Seite verstehe ich aber nicht das x>1..
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann habe ich den obigen Beitrag wohl für die Mülltonne geschrieben, wenn du ihn nicht liest. Forum Kloppe

Zitat:
Original von HAL 9000
Die Exponentialfunktion ist monoton wachsend auf ganz für Parameter , und sie ist monoton fallend auf ganz für Parameter .


Auf dieser Basis sind die beiden Fälle x>1 und x<1 zu untersuchen. Der erste Fall ergibt die oben angegebene Lösung - im zweiten Fall ist die Lösungsmenge leer.


P.S.: Wenn jemand

Zitat:
Original von Dirk55
Ja, dass ist mir bewusst.

antwortet, dann gehe ich davon aus, dass der Beitrag im großen und ganzen verstanden wurde. Davon sehe ich jetzt im Nachhinein keine Spur - eine ehrliche Antwort wie "ich begreife das nicht" wäre mir in dem Fall lieber gewesen. unglücklich
Dirk55 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie erkennt man denn an der Log Ungleichung das x>1 sein muss ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zum letzten Mal: Man erkennt es nicht, sondern man untersucht beide Fälle x>1 und x<1. böse

@andere

Kann mal bitte jemand übernehmen?
Dirk55 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, habe es verstanden.

Wusste nicht das ich erst noch allgemein die Expotentialfunktion anschauen muss.

Danke.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Erklärungsansatz:

Allgemein gilt: Bei Ungleichungen dreht sich das Ungleichheitszeichen um, wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert.

Nun kann man schreiben (Basiswechsel):



Und wird negativ, wenn x < 1 wird.


Ich muss sagen, für mich ist das nicht trivial. Ich habe sehr lange darüber nachgedacht und so 100%ig klar ist es mir immer noch nicht.
Eine sehr kuriose Aufgabe!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Basiswechsel-Formel ist eine andere Möglichkeit zur Lösung dieser Ungleichung. In dem Fall würde ich aber eher zu Basis 2 statt zu Basis 10 wechseln. Dann haben wir

.

Damit ist dann Ungleichung zu lösen. Aber auch hier sind die Fälle (entspricht x>1) und (entspricht x<1) zu unterscheiden, wenn man weiter umformt - normalerweise steht eine Multiplikation mit diesen an.

EDIT: Ok, man kann natürlich auch sagen, dass in die linke Seite auf älle Fälle positiv sein muss, also auch der Logarithmus im Nenner. Damit "entfällt" der zweite Fall von vornherein. So oder so, man muss sich mit dem Problem befassen. Augenzwinkern
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem bei dieser Aufgabe ist dass man (also der "gemeine Schüler" Augenzwinkern ) nicht erkennt, dass es zwei Fälle zu unterscheiden gilt.
Schon durch den ersten Schritt, der "Entlogarithmierung", beraubt man sich der Möglichkeit, das noch zu erkennen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von willyengland
Das Problem bei dieser Aufgabe ist dass man (also der "gemeine Schüler" Augenzwinkern ) nicht erkennt, dass es zwei Fälle zu unterscheiden gilt.

Es geht darum, die Ungleichung zu lösen, diese also vorher äquivalent umzuformen. Und da muss man eben jeden Schritt sorgfältig überdenken, auch die "Entlogarithmierung" (besser: Delogarithmierung oder Exponenzierung).
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist, daß jede Umformung nur unter gewissen Voraussetzungen erlaubt ist. Auch Profimathematiker "vergessen" diese gerne. Und ein schwacher Schüler erst recht. Wenn man den Satz des Pythagoras übt, hat man es immer mit rechtwinkligen Dreiecken zu tun. Das ist so klar, daß es irgendwann in Vergessenheit gerät und nicht mehr überprüft wird, bis schließlich der "gemeine Schüler" den Satz des Pythagoras in jedem Dreieck anwendet. Oder lassen wir doch einen Mathematikstudenten komplexe Integrale mit dem Residuensatz lösen, bis wir hinterhältigerweise einen nicht geschlossenen Integrationsweg vorgeben.
Die vorliegende Aufgabe ist auf der einen Seite sehr bemüht. Denn wo im "mathematischen Alltag" stellt sich schon ein solches Problem? Auf der anderen Seite hat sie auch einen gewissen Witz und regt zum Nachdenken an. Vielleicht ist der didaktische Gewinn weniger darin zu suchen, was die mit der Lösung zu tun hat, als darin, wozu man diese verdammte Fallunterscheidung machen muß. Und so sollte Dirk55 sich selbst und unsern armen HAL so lange quälen, bis er es gefressen hat: Wo kommt diese verfluchte 1 her?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wäre ohne Delogarithmierung folgendermaßen rangegangen:










Daraus schließe ich nun, dass wenn der Logarithmus von Wurzel 2 größer gleich 1 sein soll, die Basis x kleiner gleich Wurzel 2 sein muß.
Durch Zusatzüberlegung schließe ich weiter, dass x größer als 1 sein muß, da ich Zahlen im Intervall von 0 bis 1 nicht durch Potenzieren mit positiven Exponenten auf Wurzel 2 bringen kann.
Müßte wohl so in Ordnung sein, oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klauss
Durch Zusatzüberlegung schließe ich weiter, dass x größer als 1 sein muß, da ich Zahlen im Intervall von 0 bis 1 nicht durch Potenzieren mit positiven Exponenten auf Wurzel 2 bringen kann.


Zitat:
Original von HAL 9000
So oder so, man muss sich mit dem Problem befassen. Augenzwinkern


Zitat:
Original von klauss
Müßte wohl so in Ordnung sein, oder?


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