Kähler-Mannigfaltigkeit Identitäten beweisen

05.07.2016, 13:17	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Kähler-Mannigfaltigkeit Identitäten beweisen Meine Frage: Hallo, ich soll folgende Identitäten zeigen: Betrachte den kompakten Raum $\begin{eqnarray} \Lambda_c^{p,q} \end{eqnarray}$ der (p,q)-Formen auf C^n (mit der Standard-Metrik mit der Kähler-Form $\begin{eqnarray} \omega = \frac{i}{2} \sum_k dz_k \wedge d \bar{z_k} \end{eqnarray}$ und definiere die Operatoren $\begin{eqnarray} e_k : \Lambda_c^{p,q} \rightarrow \Lambda_c^{p+1,q} \,\, , \,\, e_k(\phi) = dz_k \wedge \phi \end{eqnarray}$ sowie das komplex-konj. und adjungierte $\begin{eqnarray} \bar{e}_k , e_k^{\star} \end{eqnarray}$ . Zeige die Identitäten: 1) $\begin{eqnarray} e_k e_l^{\star} + e_l^{\star} e_k = 2 \delta_{kl} \,\,\, <br /> \bar{e}_k \bar{e}_l^{\star} + \bar{e}_l^{\star} \bar{e}_k = 2 \delta_{kl} \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} \partial_k^{\star} = - \bar{\partial}_k \,\, , \,\, \partial_k : \Lambda_c^{p,q} \rightarrow \Lambda_c^{p,q} , \partial_k = \frac{\partial}{\partial z_k} \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} i [L^{\star}, \bar{\partial}] = \partial^{\star} \,\, , \,\, L = \frac{i}{2} \sum_k e_k \bar{e}_k \end{eqnarray}$ Meine Ideen: zu 1): Ich habe die definition von e_k und e_l eingesetzt, komme an dieser Stelle aber nicht weiter: $\begin{eqnarray} e_k e_l^{\star} + e_l^{\star} e_k = (dz_k \wedge \phi)(dz_l \wedge \phi)^{\star} + (dz_l \wedge \phi)^{\star} (dz_k \wedge \phi) = ... \end{eqnarray}$ Wie fahre ich an dieser Stelle fort? Ich wäre für jede hilfe dankbar! Viele grüße Widderchen Identität 3) konnte ich gerade beweisen. Allerdings scheitere ich noch an den ersten beiden Gleichungen. Für Gleichung 2 hätte ich einfach berechnet: $\begin{eqnarray} \partial_k^{\star} = ( \frac{\partial}{\partial z_k})^{\star} = \frac{\partial}{\partial z_k^{\star}} = \frac{\partial}{\partial \bar{z}_k} = - \bar{\partial}_k \end{eqnarray}$ . Allerdings verstehe ich nicht, wie das negative Vorzeichen entsteht! Zu Gleichung 1) habe ich einen anderen Ansatz gefunden, allerdings komme ich auch hier nicht weiter. Vielleicht kann sich das jemand ansehen: Ich habe die Identität auf eine Form Phi angewandt: $\begin{eqnarray} [ e_k e_l^{\star} + e_l^{\star} e_k ] (\phi) = ( e_k e_l^{\star} )(\phi) + ( e_l^{\star} e_k) (\phi) = \\<br /> <br /> = e_k (( dz_l \wedge \phi)^{\star}) + e_l^{\star} ( dz_k \wedge \phi) = dz_k \wedge (( d \bar{z}_l \wedge \phi)^{T}) + ( d \bar{z}_l \wedge (d \bar{z}_k \wedge \phi))^T = ... \end{eqnarray}$ Bei den Adjungierten muss komplex konjugiert und transponiert werden, doch wie sieht das transponierte eines Wedge-Produktes aus? Kann mir dazu irgendjemand etwas sagen?

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