Momentschätzer für Laplace Verteilung

05.07.2016, 20:20

Mathe_student1

Momentschätzer für Laplace Verteilung

Meine Frage:
Hallo zusammen,
hoffentlich könnt ihr mir bei der Aufgabe helfen. Ich weiß leider nicht wie ich anfangen soll.

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Meine Ideen:
Wenn ich mich nicht irre, ist der Erwartungswert E(X)=µ, und die Varianz Var(X)=2/lambda^2

05.07.2016, 20:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathe_student1
Wenn ich mich nicht irre, ist der Erwartungswert E(X)=µ, und die Varianz Var(X)=2/lambda^2

Ja, sieht gut aus.

Was ist das Prinzip des Momentenschätzers:

$\begin{align*} E(X^k) \end{align*}$ wird durch die Stichprobenfunktion $\begin{align*} \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j^k \end{align*}$ geschätzt.

Für Exponent $\begin{align*} k=1 \end{align*}$ bedeutet das, dass $\begin{align*} E(X) \end{align*}$ durch $\begin{align*} \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j = \bar{X} \end{align*}$ geschätzt, in deinem Fall ergibt das wegen $\begin{align*} E(X)=\mu \end{align*}$ den Schätzer $\begin{align*} \hat{\mu}=\bar{X} \end{align*}$ .

Für Exponent $\begin{align*} k=2 \end{align*}$ bedeutet das, dass $\begin{align*} E(X^2) \end{align*}$ durch $\begin{align*} \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j^2 = \bar{X^2} \end{align*}$ geschätzt, in deinem Fall ist nun $\begin{align*} E(X^2)=V(X)+(E(X))^2 = \frac{2}{\lambda^2} + \mu^2 \end{align*}$ ... Wie es weitergeht hängt nun davon ab, ob $\begin{align*} \mu \end{align*}$ bereits vorab bekannt ist (siehe Aufgabenstellung $\begin{align*} \mu=\mu_0 \end{align*}$ ) oder eben erst geschätzt werden muss (haben wir eben gerade getan).

05.07.2016, 21:21

Mathestudent1

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erstmal danke für deine Hilfe smile

zu a)Da der Erwartungswert durch dem Mittelwert abgeschätzt werden kann, also E(X) konvergiert stochastisch gegen den Mittelwert, folgt, dass der Schätzer schwach konsistent ist. Ist es richtig?
zu b)verstehe ich nicht wirklich was du meinst

05.07.2016, 21:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathestudent1
also E(X) konvergiert stochastisch gegen den Mittelwert

Andersherum: Der Mittelwert konvergiert gegen E(X). Die Folgerung der Konsistenz ist aber richtig.

Zitat:

Original von Mathestudent1
zu b)verstehe ich nicht wirklich was du meinst

Und ich versteh nicht, was du nicht verstehst, wenn du es nur so pauschal formulierst. unglücklich

05.07.2016, 22:09

Mathestudent1

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Momentschätzer für Laplace Verteilung
Gesucht ist ein Schätzer für lambda. Wie ich aus der Vorlesung verstanden habe, muss ich

$\begin{eqnarray*} E(X^{2} ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n} Xi \end{eqnarray*}$ gleichsetzen und nach lambda auflösen (stimmt das?). Dann habe ich einen Schätzer für lambda. Was ich nicht verstehe ist, wie genau und warum sich der Schätzer ändert, wenn der Lageparameter vorgegeben ist.

05.07.2016, 22:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathestudent1
$\begin{eqnarray*} E(X^{2} ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n} Xi \end{eqnarray*}$ gleichsetzen und nach lambda auflösen (stimmt das?).

Nein. Wie ich oben schon schrieb:

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} E(X^k) \end{align*}$ wird durch die Stichprobenfunktion $\begin{align*} \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j^k \end{align*}$ geschätzt.

[...]

Für Exponent $\begin{align*} k=2 \end{align*}$ bedeutet das, dass $\begin{align*} E(X^2) \end{align*}$ durch $\begin{align*} \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j^2 = \bar{X^2} \end{align*}$ geschätzt

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