Gleichmäßig konvergent?

06.07.2016, 09:57

halil1992

Gleichmäßig konvergent?

guten tag,
ich hätte eine frage zu der funktionfolge: $\begin{eqnarray*} f_{n}:\mathbb R \ni x \Rightarrow \sqrt[n]{e^{8x*n+1}}\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
also wenn man die punktweise grezfunktion anschaut, gibt es doch für x>0 und dem n gegen unendlich keinen grenzwert.
für x<0 und n gegen unendlich wäre dieser 0.
stimmt das bisher?

wenn ich für die gleichmäßige konvergenz dann schreibe:
$\begin{eqnarray*} | e^{8x}-e^{8x+\frac{1}{n}}| = 0 \end{eqnarray*}$
würde das dann reichen oder ist die funktionfolge überhaupt nicht gleichmäßig konvergent?

liebe grüsse

06.07.2016, 10:24

klarsoweit

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RE: gleichmäßig konvergent?

Zitat:

Original von halil1992
also wenn man die punktweise grezfunktion anschaut, gibt es doch für x>0 und dem n gegen unendlich keinen grenzwert.

Ähh, wieso nicht? verwirrt

06.07.2016, 10:34

halil1992

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also wenn ich x fix wähle, habe ich den grenzwert $\begin{eqnarray*} e^{8x} \end{eqnarray*}$ .
aber die funktionenfolge ist ja auf ganz R definiert.

wir hatten so ähnliche aufgaben wo die funktionenfolge nur auf z.B dem intervall [0;1] definiert war und da haben wir für die punktweise konvergenz dann die ränder angeschaut.
hier gibt es ja quasi keine ränder also bin ich analog dazu vorgegangen indem ich x gegen unendlich schicke, was den ganzen term unendlich macht.
bei minus unendlich dann 0.

oder macht man es in dem fall anders?
ich kann ja für die funktionsvorschrift nicht schreiben: für x=b ist der grenzwert $\begin{eqnarray*} e^{8b} \end{eqnarray*}$ .

06.07.2016, 11:44

klarsoweit

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Also wir halten fest: für ein festes x konvergiert die Funktionenfolge gegen $\begin{eqnarray*} e^{8x} \end{eqnarray*}$ . Damit ist also die Funktionenfolge punktweise konvergent. Wie das dann mit der gleichmäßigen Konvergenz aussieht, muß man separat untersuchen.

06.07.2016, 12:04

halil1992

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ist der ansatz oben zur gleichm. konvergenz also von grund auf unsinnig?

grüsse,

06.07.2016, 12:51

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In dieser Form mit einer Gleichung, wo rechts eine Null steht, sowieso.

Die Frage ist erst mal, ob überhaupt eine gleichmäßige Konvergenz vorliegt?

06.07.2016, 13:01

halil1992

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Dann müsste für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ geben, sodass $\begin{eqnarray*} |f_{n}(x)|< \epsilon \end{eqnarray*}$ was ja net der fall ist

06.07.2016, 13:40

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Zitat:

Original von halil1992
Dann müsste für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ geben, sodass $\begin{eqnarray*} |f_{n}(x)|< \epsilon \end{eqnarray*}$ was ja net der fall ist

Korrekterweise müßte es heißen: $\begin{eqnarray*} |f_n(x) - f(x)|< \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n > n_0 und x aus D.
Oder man nimmt die Supremumsnorm: $\begin{eqnarray*} ||f_n - f||< \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n > n_0 .
Aber in der Tat ist das nicht der Fall. Ggf. sollte das aber noch begründet werden. smile

10.07.2016, 09:01

halil1992

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aber dann gilt ja doch:
$\begin{eqnarray*} | e^{8x}\sqrt[n]{e}- e^{8x}|<\epsilon<br /> |e^{8x}(\sqrt[n]{e}- 1)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ was ja bei n-> unendlich
$\begin{eqnarray*} |e^{8x}(1- 1)|<\epsilon <br /> |0|<\epsilon \end{eqnarray*}$
?

oder ist das falsch.

liebe grüsse

11.07.2016, 08:48

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Zitat:

Original von halil1992
$\begin{eqnarray*} |e^{8x}(\sqrt[n]{e}- 1)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ was ja bei n-> unendlich
$\begin{eqnarray*} |e^{8x}(1- 1)|<\epsilon <br /> |0|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Bei Epsilontik-Rechnungen ist die Grenzwertbildung n-> unendlich nicht angebracht. Wie schon oben gesagt, mußt du zu epsilon > 0 ein n_0 finden, so daß $\begin{eqnarray*} |e^{8x}(\sqrt[n]{e}- 1)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ ist für alle n mit n > n_0 und für alle x aus R.

Das ist offensichtlich nicht zu leisten. Würde man hingegen als Definitionsbereich ein angeschlossenes Intervall nehmen, sähe die Sache anders aus.

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