cos(x)*cos(2x) Hochpunkt

06.07.2016, 13:28

Jörg68

cos(x)*cos(2x) Hochpunkt

Meine Frage:
Siehe Bild.

Meine Ideen:

Mein erster Gedanke war die Funktion mit Additionstheoreme und trigonome. Pythagoras umzuformen.

Ich komme auf die Funktion y = cosx(2cos^2(x)-1), die so auch stimmt.

Jedoch muss ich ja die Produktregel anwenden und die Ableitung = 0 setzen um auf Extrempunkte zu kommen.

Da die Ableitung ziemlich komplex ist und laut Taschenrechner es mehrere Lösungen gibt, glaube ich das ich auf dem falschen Weg bin. Aber in der Aufgabe ist ja die Rede von einem größten Wert und nicht mehrere..

06.07.2016, 13:37

Steffen Bühler

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RE: cos(x)*cos(2x) Hochpunkt
Du kannst das alles machen, und es ist auch nicht falsch.

Allerdings sollst Du ja nur "den größten Wert" bestimmen, den die Funktion annimmt. Und das ist bei einer Multiplikation zweier Cosinusfunktionen recht klar, oder?

Viele Grüße
Steffen

06.07.2016, 13:41

Leopold

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Ein Produkt $\begin{align*} ab \end{align*}$ zweier Zahlen $\begin{align*} a,b \in [-1,1] \end{align*}$ kann selbst auch wieder nur $\begin{align*} \in [-1,1] \end{align*}$ sein. Der maximal denkbare Wert wäre daher $\begin{align*} 1 \end{align*}$ . Und wenn er denn angenommen wird, dann ist er nicht nur denkbar.

06.07.2016, 13:47

Jörg68

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Also ist die Lösung einfach 1 ?

Also ohne Bestimmung der Hochpunkte ?

06.07.2016, 13:50

Steffen Bühler

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Ja. Nach den x-Werten ist schließlich nicht gefragt. Zur mathematischen Begründung hat Leopold schon was geschrieben.

06.07.2016, 18:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Der maximal denkbare Wert wäre daher $\begin{align*} 1 \end{align*}$ . Und wenn er denn angenommen wird, dann ist er nicht nur denkbar.

Allerdings ist der Punkt nicht zu vernachlässigen:

Die Antwort "1" auf das ähnlich klingende Problem mit $\begin{align*} \sin(x)\cdot \sin(2x) \end{align*}$ wäre nämlich falsch. Augenzwinkern

06.07.2016, 19:16

Leopold

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RE: cos(x)*cos(2x) Hochpunkt

Zitat:

Original von Jörg68
Mein erster Gedanke war die Funktion mit Additionstheoreme und trigonome. Pythagoras umzuformen.

Ich komme auf die Funktion y = cosx(2cos^2(x)-1), die so auch stimmt.

Jedoch muss ich ja die Produktregel anwenden und die Ableitung = 0 setzen um auf Extrempunkte zu kommen.

Wenn man zusätzlich die Extrempunkte der Funktion bestimmen will, so scheint mir eine vorherige Umformung nicht erforderlich.

$\begin{align*} f(x) = \cos x \cdot \cos(2x) \end{align*}$

$\begin{align*} f'(x) = - \sin x \cdot \cos(2x) - 2 \cos x \cdot \sin(2x) \end{align*}$

Jetzt zu den Nullstellen von $\begin{align*} f' \end{align*}$ :

$\begin{align*} \sin x \cdot \cos(2x) = -2 \cos x \cdot \sin(2x) \end{align*}$

Die Nullstellen von $\begin{align*} \cos x \end{align*}$ und von $\begin{align*} \cos(2x) \end{align*}$ sind offenbar keine Nullstellen von $\begin{align*} f' \end{align*}$ . Nach Division durch $\begin{align*} \cos x \end{align*}$ und durch $\begin{align*} \cos(2x) \end{align*}$ erhält man daher:

$\begin{align*} \tan x = -2 \tan(2x) \ \ \Leftrightarrow \ \ \tan x = - \frac{4 \tan x}{1 - \tan^2 x} \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( 5 - \tan^2 x \right) \cdot \tan x = 0 \end{align*}$

Und jetzt kann man alles ablesen.

06.07.2016, 20:31

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Leopold
Und wenn er denn angenommen wird, dann ist er nicht nur denkbar.

Allerdings ist der Punkt nicht zu vernachlässigen

Ja, zeigen muss man einen Punkt natürlich. Weit zu laufen braucht man aber nicht dafür. smile

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