Inhomogene Differenzialgleichung

07.07.2016, 10:58

balance

Inhomogene Differenzialgleichung

Hallo,

Ich habe eine kleine Verständnis Lücke beim lösen von inhomogenen DGLs.

Ich mach einfach mal ein Beispiel - die Variable (x) lasse ich jeweils weg.

Aufgabe: $\begin{eqnarray*} y'+y\cos=\sin\cos \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y(0)=1 \end{eqnarray*}$

1. Homogene Gleichung: $\begin{eqnarray*} y'+y\cos=0 \Rightarrow \frac{1}{y}dy=-\cos dx \Rightarrow y=e^{-\sin}e^C \end{eqnarray*}$

Setzte $\begin{eqnarray*} A=e^C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y_{hom}=Ae^{-\sin} \end{eqnarray*}$

2. Wir machen den Ansatz $\begin{eqnarray*} y_p=A(x)e^{-\sin} \end{eqnarray*}$ wobei wir die Konstante A nun als Funktion auffassen. Wir setzten diesen Ansatz in die DGL ein und bekommen:
$\begin{eqnarray*} A(x)=\int \sin(x)\cos(x)e^{\sin(x)}dx \end{eqnarray*}$ mittels der Substituion $\begin{eqnarray*} u=sin \end{eqnarray*}$ bekommen wir:
$\begin{eqnarray*} A(x)=\int ue^udu=e^u(u-1) \end{eqnarray*}$

Und somit: $\begin{eqnarray*} y_p=e^{\sin}(\sin-1)e^{-\sin}=\sin-1 \end{eqnarray*}$

Die allgemeine Lösung lautet nun:
$\begin{eqnarray*} y=y_{hom}+y_p=Ae^{-\sin}+\sin-1 \end{eqnarray*}$

Wir berechnen A: $\begin{eqnarray*} y(0)=A+0-1=1 \Rightarrow A=2 \end{eqnarray*}$

Die Lösung für unser AWP ist also: $\begin{eqnarray*} y=2e^{-\sin}+\sin-1 \end{eqnarray*}$

Frage 1: Wieso betrachten wir die Konstante $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ als Funktion $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ ?
Frage 2: Wo ist die Integrationskonstante von der Integration von $\begin{eqnarray*} A'(x) \end{eqnarray*}$ implizit erhalten? (Die muss ja irgendwo sein)

Vermutung: Erstmal ist mir klar, dass die homogene + partikuläre Lösung die allg. Lösung ergibt. Beim "lösen" der homogenen Lösungen habe wir ja nun eine INtegrationskonstante - diese Integrationskonstante fassen wir nun beim Ansatz der part. Lösung als Funktion auf, weil diese von der inhomogenität der DGL abhängt. (Stimmt das?)

Wäre froh, wenn mir jemand ein paar Worte dazu sagen könnte smile

07.07.2016, 11:23

klarsoweit

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RE: Inhomogene Differenzialgleichung

Zitat:

Original von balance
Frage 1: Wieso betrachten wir die Konstante $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ als Funktion $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ ?

Diesen Ansatz nennt man "Variation der Konstanten" smile

Zitat:

Original von balance
Frage 2: Wo ist die Integrationskonstante von der Integration von $\begin{eqnarray*} A'(x) \end{eqnarray*}$ implizit erhalten? (Die muss ja irgendwo sein)

Für die partikuläre Lösung genügt genau eine Funktion. Daher kann man sich die Integrationskonstante schenken.

07.07.2016, 11:36

balance

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RE: Inhomogene Differenzialgleichung

Zitat:

Original von klarsoweit
Frage 2: Wo ist die Integrationskonstante von der Integration von $\begin{eqnarray*} A'(x) \end{eqnarray*}$ implizit erhalten? (Die muss ja irgendwo sein)

Für die partikuläre Lösung genügt genau eine Funktion. Daher kann man sich die Integrationskonstante schenken.[/quote]

Bevor mans sich schenkt, sollte man es mal gerechent haben. Weist du wo ich ein Beispiel dazu finde? Ich sehe jedenfalls nicht, wo sich das "rauskürzen" sollte.

07.07.2016, 11:44

klarsoweit

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RE: Inhomogene Differenzialgleichung
Ich verstehe nicht, worauf du hinauswillst. Bei der Bestimmung der partikulären Lösung wird Integrationskonstante einfach gleich Null gesetzt. Wie gesagt: man braucht ja nur eine partikuläre Lösung.

07.07.2016, 12:38

balance

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achso, ja, gut. Denke, wenn ich mich jetzt noch ein wenig mehr damit auseinadnersetzte, dann passt das. smile

Danke

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