Ladung berechnen

07.07.2016, 11:59	s_punkt	Auf diesen Beitrag antworten »
Ladung berechnen Hallo Ich hab folgende Aufgabe: Berechnen Sie die Ladung Q des räumlichen Bereiches $\begin{eqnarray} V := \{(x,y,z) \| x,y,z \geq 0 \wedge x+y+z \leq 1\} \end{eqnarray}$ , wenn die elektrische Ladungsdichte durch $\begin{eqnarray} \rho (x,y,z) = \frac{1}{(1+x+y+z)^3} \end{eqnarray}$ gegeben ist. Mein Ansatz wäre: $\begin{eqnarray} Q = \int_V \rho(x,y,z)\mathrm{d}V \end{eqnarray}$ Wie komme ich da jetzt aber weiter, ich steh aufm Schlauch.
07.07.2016, 12:11	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ladung berechnen $\begin{eqnarray} Q = \int_0^1 \int_0^? \int_0^? \frac { 1 } { (1 + x + y + z)^3} dz dy dx \end{eqnarray}$ . Hilft das schon?
07.07.2016, 12:31	s_punkt	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hilft schon mal sehr, weil ich hätte probiert das in andere Koordinaten zu transformieren. die Grenzen bei z und y müssten doch auch beide 1 sein oder?
07.07.2016, 12:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ladung berechnen Das würde für den Würfel $\begin{eqnarray} W := \{(x,y,z) \| x,y,z \geq 0 \wedge x,y,z \leq 1\} \end{eqnarray}$ stimmen, nicht für Tedraeder $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ .
07.07.2016, 12:47	s_punkt	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Idee wäre jetzt über die Achsenabschnittsformel zu gehen, also $\begin{eqnarray} x+y+z \leq 1 \leftrightarrow z\leq 1-x-y \end{eqnarray}$ Dann würde ich ja auf folgendes Integral kommen: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1-x-y} \frac{1}{(1+x+y+z)^3} \mathrm{d}z\mathrm{d}y\mathrm{d}x \end{eqnarray}$ Haut es jetzt hin?
07.07.2016, 12:48	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht gut aus
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07.07.2016, 12:54	s_punkt	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank Eine Frage hab ich aber noch, wie hast du gesehen, dass es ein Tetraeder ist? Ich hab krampfhaft versucht mir das irgendwie darzustellen bin da aber auf nichts gutes gekommen.
07.07.2016, 12:59	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt wusste ich es, weil ich es vorher schon mal gesehen habe. Ich denke das einfachste wäre zu sehen, dass es die konvexe Hülle von $\begin{eqnarray} \{ (0,0,0), e_1, e_2, e_3 \} \end{eqnarray}$ ist, wobei $\begin{eqnarray} e_i \end{eqnarray}$ die Standardbasis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ beschreibt.
07.07.2016, 13:03	s_punkt	Auf diesen Beitrag antworten »
Darauf wäre ich jetzt nicht gekommen, aber das merk ich mir. Danke nochmal!

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