Ungleichung beweisen

07.07.2016, 12:21	alla88	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung beweisen Meine Frage: Hallo liebe Leute, ich brauche eure Hilfe. Ich möchte zeigen, dass aus a+b>-1 und ab<1 folgt a^3 + b^3 + 1 - 3 ab>0 Meine Ideen: Nun habe ich gecheckt, dass ich a^3 + b^3 + 1 - 3 ab=(1 + a + b) (1 - a + a^2 - b - a b + b^2) schreiben kann. Laut Voraussetzung gilt dass die erste Klammer positiv ist, es bleibt also noch zu zeigen dass die zweite Klammer positiv ist. Bitte um Hilfe. Danke
07.07.2016, 17:04	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für alle reellen $\begin{align} a,b \end{align}$ ist $\begin{align} 2(1-a+a^2-b-ab+b^2) = (a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2 \geq 0 \end{align}$ , d.h., die Voraussetzung $\begin{align} ab<1 \end{align}$ brauchst du höchstens dazu, das echt $\begin{align} >0 \end{align}$ statt nur $\begin{align} \geq 0 \end{align}$ nachzuweisen. Tatsächlich würde dafür statt $\begin{align} ab<1 \end{align}$ die weit schwächere zweite Bedingung $\begin{align} (a,b)\neq (1,1) \end{align}$ genügen. EDIT: Das ist übrigens der Spezialfall $\begin{align} c=1 \end{align}$ hiervon, allerdings in der Version > statt wie in der Verlinkung >.
12.07.2016, 14:20	alla88	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke

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