Konvergenz unendlicher Reihe 1/x

07.07.2016, 17:58	Wert99	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz unendlicher Reihe 1/x Meine Frage: Hallo, war gerade mit einer Hausaufgabe beschäftigt, die sich mit Konvergenz von unendlichen Reihen beschäftigt. Nun ist mir folgende Frage in den Sinn gekommen: Ich weiß ja das $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2} = \frac{\pi ^2}{6} \end{eqnarray}$ konvergiert und das $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k} = "+\infty" \end{eqnarray}$ divergiert. Nun stellt sich mir die frage ab welchem 1/k^x mit x>1 konvergiert denn die Reihe Meine Ideen: Hab mal ein bisschen in WolframAlpha rumgespielt und das meint das $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{1.001}} \end{eqnarray}$ konvergiert mit Abschätzung nach Oben. Kennt sich da jemand aus bzw. gibts da einen Beweis der zeigt das für x>1 beliebig die Reihe konvergiert? Kann man da einfach das Kondesationskriterium drauf anwenden?
07.07.2016, 18:27	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz unendlicher Reihe 1/x Es konvergiert für jedes $\begin{eqnarray} x > 1 \end{eqnarray}$ . Kann man leicht mit Integralkriterium zeigen, oder auch dem Cauchy-Verdichtungssatz (was du wohl mit Kondensierungssatz meinst). Edit: Etwas schärfer kann man sogar $\begin{eqnarray} \sum_{k \geq 2} \frac 1 { k (\log k)^x } < \infty \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x > 1 \end{eqnarray}$ zeigen.
07.07.2016, 18:30	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Mit Integralabschätzung bekommt man im Fall $\begin{align} x>1 \end{align}$ leicht $\begin{align} \frac{x}{x-1} \end{align}$ als (grobe) obere Schranke für den Reihenwert.

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