DGL-Richtungsfeld

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Berkocuk98 Auf diesen Beitrag antworten »
DGL-Richtungsfeld
Hallo an alle,

Ich habe ein problem mit einer Frage, wie kann ich die Funktion y'=3(1-y) als Richtungfeld skizzieren ?
ich meinte ohne x wie kann man das zeigen ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Anwesenheit von x in der Differentialgleichung ist nicht Bedingung für ein Richtungsfeld.
Die explizite Differentialgleichung 1. Odnung lautet allgemein y' = F(x; y(x)). Der Term rechts stellt bereits die Steigung in den Punkten der Lösungskurven dar.
Wie wird also ein Richtungsfeld erstellt, bzw. was wird dazu benötigt?
Ein Richtungsfeld besteht aus einer Reihe von Punkten und den in ihnen gelegten Tangenten, die eine bestimmte Steigung haben.
Wir wählen somit Punkte (x; y) und ordnen diesen jeweils die durch F bestimmte Steigung - also den Richtungsvektor (1; F(x; y)) - zu.

In deinem Beispiel ist F(x; y(x)) (= y') lediglich 3(1 - y), dass sich jetzt darin kein x befindet, hindert nicht an der Bestimmung der Steigung.
Diese kann ja immer mittels 3(1 - y) bestimmt werden.
Wie zu erkennen ist, sind in deinem Beispiel vor allem die Punkte (c; 1) von Bedeutung, in allen diesen ist die Steigung Null.
In allen Punkten (c; 0) ist die Steigung 3, in den Punkten (c; 2) beträgt sie - 3, usw.

Das Richtungsfeld besteht daher aus eine Reihe von Punkten (die hier auf zur x-Achse parallelen Geraden liegen), in denen die Tangenten mit der jeweils berechneten Steigung einzuzeichnen sind.
Die einzelnen zur x-Achse parallelen Geraden nennt man Isoklinen, darauf befinden sich die Punkte mit der gleichen Steigung der Tangenten.

Zur Probe kannst du leicht die exakte Lösung bestimmen [ ] und diese mit dem Richtungsfeld vergleichen.

mY+
Berkocuk98 Auf diesen Beitrag antworten »

Es wære superr, wenn du die Funktion zeichnen kannst,

Danke
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösungsmenge ist nicht eine einzelne Funktion, sondern eine Schar derselben, bedingt durch die Konstante c1.
Das kommt auch beim Erstellen des Richtungsfeldes zum Ausdruck.
Ich denke, dass ich dir das Richtungsfeld schon sehr detailliert beschrieben habe und bevor ich es zeichne, möchte ich - im Sinne des Boardprinzips - wissen, wie weit du dieses schon fertiggebracht hast. Falls du damit Schwierigkeiten hast, beschreibe dein Problem und dabei können wir dir dann helfen.

mY+
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