Nichtlineares Gleichungssystem auflösbar

08.07.2016, 20:13	chris13	Auf diesen Beitrag antworten »
Nichtlineares Gleichungssystem auflösbar Meine Frage: Hallo, ich soll prüfen ob folgendes Gleichungssystem auflösbar nach x(a,b) und y(a,b) ist, ob y und x dann stetig differenzierbar ist und dann den Gradienten von x und y im punkt (a,b)=(0,2) berechnen $\begin{eqnarray} x^{3} +y=a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -y^{3} +x=b \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich hab den Umkehrsatz verwendet, Zuerst die Funktion festgelegt: $\begin{eqnarray} \lambda :\mathbb R^{2}->\mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda =\begin{pmatrix} x^{3}+y \\ -y^{3}+x \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Sie ist differenzierbar mit Ableitung $\begin{eqnarray} D\lambda =\begin{pmatrix} 3x^{2} & 1\\ 1 & -3y^{2}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} det(\lambda )=-9x^{2}y^{2} -1 \end{eqnarray}$ ist immer ungleich 0 => auf ganzen Definitionsbereich invertierbar und die Funktion ist bijektiv=> ist ein Diffeomorphismus => $\begin{eqnarray} \exists \lambda ^{-1} (a,b)=(x,y) \end{eqnarray}$ damit ist nach x und y auflösbar und weil die Funktion Injektiv ist, ist x und y stetig differenzierbar Für den Gradienten hab ich zunächst die Umkehrfunktion ausgerechnet $\begin{eqnarray} D\lambda^{-1} =\frac{1}{-9x^{2}y^{2}-1 } \begin{pmatrix} -3y^{2} & -1\\ -1 & 3x^{2}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ das ist ja dann weiter $\begin{eqnarray} D\lambda^{-1} =\begin{pmatrix} grad(x) & grad(y)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aber wie komm ich jetzt auf das x und y im Punkt (a,b)=(0,2)? und ist das bis jetzt alles so korrekt? danke schon mal im voraus!

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