DGL mit Fallunterscheidung

09.07.2016, 12:17

Dödö

DGL mit Fallunterscheidung

Hallo zusammen, gegeben habe ich die DGL: $\begin{eqnarray*} y''+2by'+y=sin(x) \end{eqnarray*}$

Im ersten Schritt bestimme ich die Lösung der homogenen DGL:

$\begin{eqnarray*} z^2+2bz+1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1,2}=-b\pm\sqrt{b^2-1}=-b\pm\sqrt{(b-1)(b+1)} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} p(b)=(b-1)(b+1) \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} p(b)>0 \end{eqnarray*}$ dann gibt's keine Probleme bei der Bestimmung der homogenen Lösung.

Im Fall $\begin{eqnarray*} p(b)\geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} y_H(x)=c_1e^{(-b+\sqrt{b^2-1})x}+c_2e^{(-b+\sqrt{b^2-1})x} \end{eqnarray*}$

Im zweiten Fall $\begin{eqnarray*} p(b)<0 \end{eqnarray*}$ taucht eine komplexe Lösung auf. Ich bin mir nicht sicher wie nun die imaginäre Einheit konkret unter der Wurzel auftaucht. Meine Idee für die Lösung ist:

Für $\begin{eqnarray*} p(b)<0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} z_{1,2}=-b\pm\sqrt{i^2(1-b^2)}=-b\pm i\sqrt{1-b^2} \end{eqnarray*}$

Dann lauten die Lösungen: $\begin{eqnarray*} z_1=-b+i\sqrt{1-b^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2=-b-i\sqrt{1-b^2} \end{eqnarray*}$

Dann lautet die homogene Lösung im Fall $\begin{eqnarray*} p(b)<0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} y_H(x)=e^{-bx}[c_1\cos((1-b^2)x)+c_2\sin((1-b^2)x)] \end{eqnarray*}$

Stimmt meine Rechnung soweit oder muss ich wegen der komplexen Lösung im Fall $\begin{eqnarray*} p(b)<0 \end{eqnarray*}$ noch etwas beachten?

Vielen Dank smile

09.07.2016, 13:28

HAL 9000

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Sieht soweit ganz gut aus. Falls du wirklich alle Parameterfälle abdecken sollst, dann fehlt natürlich noch die Betrachtung des Falles $\begin{align*} p(b)=0 \end{align*}$ , also $\begin{align*} b=\pm 1 \end{align*}$ , der ja ein paar andere Besonderheiten aufweist.

09.07.2016, 17:13

Dödö

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Hallo Hal9000, stimmt den Fall habe ich komplett übersehen. Die konkrete Aufgabe lautet:
Bestimme in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} b\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ die Lösungen der Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} y''+2by'+y=\sin(x) \end{eqnarray*}$

Damit wird dann wohl auch eine vollständige Untersuchung gemeint sein. Zusammenfassung:

1.Fall: $\begin{eqnarray*} p(b)<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_H(x)=e^{-bx}[c_1\cos((1-b^2)x)+c_2\sin((1-b^2)x) \end{eqnarray*}$

2.Fall: $\begin{eqnarray*} p(b)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_H(x)=c_1e^{x}+c_2e^{-x} \end{eqnarray*}$

3.Fall: $\begin{eqnarray*} p(b)>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_H(x)=c_1e^{(-b+\sqrt{b^2-1})x}+c_2e^{(-b-\sqrt{b^2-1})x} \end{eqnarray*}$

Die partikuläre Lösung müsste für alle Fälle die Selbe sein. Ich erhalte für die partikuläre Lösung:

$\begin{eqnarray*} y_p(x)=-\frac{1}{2B}\cos(x) \end{eqnarray*}$

Die allgemeine Lösung für die jeweiligen Fälle ist dann $\begin{eqnarray*} y(x)=y_H(x)+y_p(x) \end{eqnarray*}$

Passt das nun?

Viele Grüße und schönen Dank smile

11.07.2016, 13:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dödö
2.Fall: $\begin{eqnarray*} p(b)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_H(x)=c_1e^{x}+c_2e^{-x} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. unglücklich

Im Fall $\begin{align*} b=1 \end{align*}$ ist die homogene Lösung $\begin{align*} y_H(x) = (C_1+C_2x)e^{-x} \end{align*}$ .

Im Fall $\begin{align*} b=-1 \end{align*}$ ist die homogene Lösung $\begin{align*} y_H(x) = (C_1+C_2x)e^x \end{align*}$ .

11.07.2016, 17:48

Dödö

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Hallo, wie kommst du denn darauf? Wenn $\begin{eqnarray*} p(b)=0 \end{eqnarray*}$ ist doch erstmal $\begin{eqnarray*} b^2=1 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} b=\pm 1 \end{eqnarray*}$

Es gilt zudem $\begin{eqnarray*} z_{1,2}=-b\pm\sqrt{b^2-1} \end{eqnarray*}$ das heißt $\begin{eqnarray*} z_1=-b+\sqrt{b^2-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2=-b-\sqrt{b^2-1} \end{eqnarray*}$

Wenn ich in $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und in $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die -1 einsetze erhalte ich: $\begin{eqnarray*} z_1=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2=1 \end{eqnarray*}$

Dann müsste doch die Lösung $\begin{eqnarray*} y_H(x)=c_1e^{x}+c_2e^{-x} \end{eqnarray*}$ lauten.

Wo ist denn mein Denkfehler?

Die partikuläre und damit der Rest der Aufgabe wurde korrekt berechnet?

Vielen Dank smile

11.07.2016, 18:01

Mathema

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Das sind zwei verschiedene Fälle. In beiden Fällen hast du eine doppelte (reelle) Nullstelle.