Fragen zur bedingten Wahrscheinlichkeit (Satz von Bayes)

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Matt99 Auf diesen Beitrag antworten »
Fragen zur bedingten Wahrscheinlichkeit (Satz von Bayes)
Ich komme bei einer Übungsaufgabe zur bedingten Wahrscheinlichkeit nicht weiter. Ich seh selber, dass es ein Paradebeispiel dafür ist, aber mein Ergebnis gleicht sich leider nicht mit der Lösung.

Ein neu entwickelter medizinischer Schnelltest erkennt mit 95% Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Krankheit K, falls die getestete Person daran erkrankt ist. Bei Personen, die nicht von K betroffen sind, wird diese Tatsache sogar mit 99% Wahrscheinlichkeit durch den Test bestätigt. Der Test wird bei einer Bevölkerungsgruppe B angewendet, in der 0,2% der Personen an K erkrankt sind.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt der Test bei einer zufällig aus B ausgewählten Person an, dass diese an K erkrankt ist?

Ich habe erst alle meine Wahrscheinlichkeiten mithilfe eines Baumdiagramms aufgeschrieben:
[attach]42243[/attach]
= Person ist krank, = Person ist nicht krank bzw. gesund
= Test ist positiv bzw. Treffer, = Test ist negativ bzw. kein Treffer


Mein Gedanke war es hier den Satz von Bayes für anzuwenden.
Aus der Frage entnehme ich aber, dass es egal ist ob die Person tatsächlich an K erkrankt ist oder nicht - Hauptsache der Test ist positiv. Also bräuchte ich doch einmal und , also die beiden Wahrscheinlichkeiten, dass der Test positiv unter der Bedingung jemand ist an K erkrankt und der Test positiv unter der Bedingung jemand ist nicht an K erkrankt.
Und da kommt schon meine erste Frage. Wenn das bis hierhin richtig gedacht ist, und ich den Satz von Bayes für anwendet, komme ich auf


Ergibt sich hier mein P(T) aus ? Sprich: Hauptsache Test ist positiv (Treffer) unabhängig ob die Person krank ist? Das würde aber bei nicht funktionieren, da 0,05 + 0,99 dann 1,04 wäre und es ja nicht über 1 sein kann. Und jetzt beim schreiben fällt mir auf, dass sich ja eigentlich aus ergeben müsste.
Die nächste (Basic)-Frage wäre: ist ja nicht das gleiche wie , richtig? Wie würde ich dann an mein gelangen?

Kurz zusammenfassend: Aus der Frage " Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt der Test bei einer zufällig aus B ausgewählten Person an, dass diese an K erkrankt ist?"
lese ich raus
(Test ist positiv unter der Bedingung das die Person nicht krank ist multipliziert mit der Wkt, dass der Test positiv ist unter der Bedingung das die Person krank ist).


Und hier hänge ich wie gesagt an meinem P(T) fest. Und generell befürchte ich, dass mein bisheriger Gedankengang zu kompliziert für diese Aufgabenstellung ist und garnicht nach dem Satz von Bayes gefragt wird.


b) Der Test zeigt bei einer Person aus B an, dass sie erkrankt ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Person wirklich an K erkrankt?

=> Wahrscheinlich, dass der Test positiv ist (Treffer) unter der Bedingung, dass die Person krank ist.
? Hier komme ich aber auf die selbe Aufgangsfrage.

Mir ist bewusst, dass dies gerade ziemliche Basic-Fragen zur bedingten Wahrscheinlichkeit sind, aber ich stehe wirklich auf dem Schlauch. verwirrt
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fragen zur bedingten Wahrscheinlichkeit (Satz von Bayes)
Zunächst eine Zahlenkorrektur:



Bei a) ist die Gesamtwahrscheinlichkeit P(T) gefragt, überhaupt ein positives Testergebnis zu erhalten. Dies ist bei 95% der Kranken und 1% der Gesunden der Fall.
Damit ergibt sich


Bei b) ist gesucht
Zitat:
Original von Matt99

Die nächste (Basic)-Frage wäre: ist ja nicht das gleiche wie , richtig? Wie würde ich dann an mein gelangenverwirrt


Richtig. I. d. R. funktioniert das über die Vertauschung der Symbole in der Schnittwahrscheinlichkeit:


Der Nenner ist das Ergebnis von a), die Größen im Zähler sind gegeben.
 
 
Matt99 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fragen zur bedingten Wahrscheinlichkeit (Satz von Bayes)
Zitat:
Original von klauss
Zunächst eine Zahlenkorrektur:


Lesen müsste man können. Ich ging beim drüberlesen immer von 0,2% = 2 % = 0,02 aus. Danke für den Hinweis!

Zitat:
Original von klauss
Bei a) ist die Gesamtwahrscheinlichkeit P(T) gefragt, überhaupt ein positives Testergebnis zu erhalten. Dies ist bei 95% der Kranken und 1% der Gesunden der Fall.
Damit ergibt sich [...]

Dann war mein Ansatz schonmal nicht verkehrt mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit.


Zitat:
Original von klauss
Richtig. I. d. R. funktioniert das über die Vertauschung der Symbole in der Schnittwahrscheinlichkeit:
[...]

Der Nenner ist das Ergebnis von a), die Größen im Zähler sind gegeben.

Also wird dort nach dem Satz von Bayes gefragt.

Vielen Dank, jetzt habe ich schonmal einen klareren (?) Durchblick in der bedingten Wahrscheinlichkeit. Freude
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