Binomischer Lehrsatz Summe

10.07.2016, 18:37	mopest	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomischer Lehrsatz Summe $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^n (-1)^j \binom n j x^{j-1} = -\frac { (1-x)^n - 1} x \end{eqnarray}$ Wie kommt man darauf? Der binomischer lehrsatz besagt doch $\begin{eqnarray} (a+b)^n=\sum \limits_{j=0}^{n}\binom n ja^{n-j}b^{j} \end{eqnarray}$ Jetzt Summe shiften und 1/x rausziehen? und dann?
10.07.2016, 19:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
1/x rausziehen ja, Summe shiften nein: Tatsächlich fehlt der Summand für j=0, was natürlich berücksichtigt werden muss: Nach binomischen Satz gilt $\begin{align} (a+b)^n = \sum_{j=0}^n \binom{n}{j}a^{n-j}b^j = 1 + \sum_{j=1}^n \binom{n}{j}a^{n-j}b^j \end{align}$ , das bedeutet für $\begin{align} a=1 \end{align}$ und $\begin{align} b=-x \end{align}$ $\begin{align} (1-x)^n = 1 + \sum_{j=1}^n \binom{n}{j}(-x)^j = 1 + \sum_{j=1}^n (-1)^j \binom{n}{j}x^j \end{align}$ . Jetzt die 1 subtrahieren und durch $\begin{align} x \end{align}$ teilen ergibt $\begin{align} \frac{(1-x)^n-1}{x} = \sum_{j=1}^n (-1)^j \binom{n}{j}x^{j-1} \end{align}$ . P.S.: Ich entdecke gerade einen Vorzeichenfehler, der sich bereits durch den ganzen Beitrag von IfindU zieht - war mir damals nicht aufgefallen. In der Behauptung steht noch der richtige (-1)-Exponent $\begin{align} \sum_{j=1}^n (-1)^{{\color{red}j-1}} \binom{n}{j}x^j \end{align}$ .

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