Richtungsableitung und totale Ableitung

10.07.2016, 20:08

Fruchtsaft99

Richtungsableitung und totale Ableitung

Hallo leute ich hab grade ein Problem mit folgendem Bsp. aus meinem Skript:

Wenn alle Richtungsableitungen existieren, bedeutet das noch nicht, dass die Funktion (total) differenzierbar ist.

Hierzu ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f\left(x\right)=\begin{cases} 0 & \text{falls }x=\left(0,0\right)\\ \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}} & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Man berechnet für $\begin{eqnarray*} v\in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \partial_{v}f\left(0,0\right)=\frac{v_{1}^{3}}{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}. \end{eqnarray*}$

Das hab ich auch so nachgerechnet.

Nun sagt das skript: Dies ist aber keine Lineare Abhängigkeit von v.

Ich verstehe nicht so ganz, was mit der linearen Abhängikeit gemeint ist.
Warum ist der Term nicht linear abhängig?

Übrigens ist $\begin{eqnarray*} \partial_{1}f \end{eqnarray*}$ nicht stetig bei $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ wie man nachrechnen kann.

Das wollte ich mal tun:

$\begin{eqnarray*} \partial_{1}f\left(x,y\right)=\frac{x^{4}+3x^{2}y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \end{eqnarray*}$

Nun wähle ich mir eine Nullfolge $\begin{eqnarray*} a_{n}:=\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$

Es gilt dafür

$\begin{eqnarray*} \partial_{1}f\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)=&\frac{\frac{1}{n^{4}}+3\cdot\frac{1}{n^{2}}\cdot\frac{1}{n^{2}}}{\left(\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n^{2}}\right)^{2}}\\=&\frac{\frac{4}{n^{4}}}{\frac{4}{n^{4}}}\\=&1 \end{eqnarray*}$

Somit gilt

$\begin{eqnarray*} \underset{x,y\to\left(0,0\right)}{\lim}\partial_{1}f\left(x,y\right)=1\not=\partial_{1}f\left(\underset{x,y\to\left(0,0\right)}{\lim}\left(x,y\right)\right)=\partial_{1}f\left(0,0\right)=0 \end{eqnarray*}$ .

Also ist es nicht stetig in der $\begin{eqnarray*} 0:=(0,0) \end{eqnarray*}$

Wenn die Partiellen Ableitungen nicht stetig sind, dann ist die Funktion ja automatisch schon nicht total Ableitbar oder?

Existiert die totale Ableitung ist sie aber immer stetig partiell differenzierbar oder?

Totale Ableitung ist doch das stärkste ableietungskriterium wenn ich das richtig verstanden habe.

Allerdings finde ich den Hauptsatz über den Ziusammenhang zwischen totaler Ableitung und Partieller Ableitung etwas verwirrend formuliert.

Mfg. Fruchtsaft99

10.07.2016, 20:41

Fruchtsaft99

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Ich muss letztere Aussage nochmal revidieren.

Hab nochmal bei wikipedia geschaut und dort steht, dass aus der Totalen Ableitung nicht folgt, dass die partiellen Ableitungen auch stetig sind.

Also ist stetig partiell differenzierbar stärker als die toatel Ableitung.

Dachte nur weil aus der Definition der totalen Ableitung, ja folgt dass die Funktion ansich stetig sit. Das sagt aber natürlich nichts über die stetigkeit der Ableitung aus. Da war wohl mein Gedankenfehler.

10.07.2016, 21:08

005

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RE: Richtungsableitung und totale Ableitung

Zitat:

Nun sagt das Skript: Dies ist aber keine Lineare Abhängigkeit von v.

Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Nullpunkt (total) differenzierbar waere, dann haetten die Richtungsableitungen da die Form

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial v}(0,0)=\nabla f(0,0)\cdot v=av_1+bv_2. \end{eqnarray*}$

Haben sie aber offensichtlich nicht.

12.07.2016, 01:32

Fruchtsaft99

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Hallo okay vielen dank erstmal.

Stimmt nach unserem Hauptsatz muss das gelten.

Da der Gradient von f:

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y)=(0,0)^T \end{eqnarray*}$

müsste gelten

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial v}(0,0)=0 \end{eqnarray*}$ .

Das ganze steht bei dir ja in allgemeinerer form mit a und b als Einträge.

Aber es ist nun nicht so, dass ich dies direkt an der Form $\begin{eqnarray*} av_{1} + bv_{2} \end{eqnarray*}$ schon erkennen könnte oder?

Denn $\begin{eqnarray*} a:=\partial_{v}f\left(0,0\right)=\frac{v_{1}^{2}}{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b:=0 \end{eqnarray*}$ könnten ja mögliche Zahlenwerte im gradienten sein.

Dann würde das passen.

Also wie ich das erkennen kann ist mir nun bewusst mir ist nur noch nicht ganz bewusst ob ich das auch direkt an der allgemeineren Form ohne konkreten vergleich mit dem Gradienten erkennen kann.

12.07.2016, 01:59

005

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Ach geh! $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ ist der Gradient im Nullpunkt. Der haengt doch nicht von der Richtung $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ab.

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