Integralgrenzen

10.07.2016, 20:30	Dukkha	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralgrenzen Hallo, Ich verstehe folgenden Schritt nicht: Seien $\begin{eqnarray} X\sim Uniform(0,1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y\sim \mathcal{N}(0,1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ sind unabhängig. Dann ist $\begin{eqnarray} P(X\leq Y \leq 1)=\int\limits_{-\infty}^1\int\limits_{0}^y f_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x \mathrm{d}y \end{eqnarray}$ Leider verstehe ich nicht, wie man auf diese Integralgrenzen kommt. Warum ist es nicht $\begin{eqnarray} P(X\leq Y \leq 1)=\int\limits_{0}^1\int\limits_{x}^1 f_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}y \mathrm{d}x \end{eqnarray}$ Vielen Dank für eure Antworten.
10.07.2016, 21:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für beliebig (absolut-)stetig verteilten Vektor $\begin{align} (X,Y) \end{align}$ wäre zunächst mal $\begin{align} P(X\leq Y \leq 1) = \int\limits_{-\infty}^1 \int\limits_{-\infty}^y f_{X,Y}(x,y) ~ \dd x ~ \dd y \end{align}$ richtig. Da $\begin{align} X \end{align}$ hier aber nur Werte in $\begin{align} [0,1] \end{align}$ annehmen kann, wird daraus $\begin{align} P(X\leq Y \leq 1) = \int\limits_0^1 \int\limits_0^y f_{X,Y}(x,y) ~ \dd x ~ \dd y \end{align}$ Dein $\begin{align} P(X\leq Y \leq 1) = \int\limits_0^1 \int\limits_x^1 f_{X,Y}(x,y) ~ \dd y ~ \dd x \end{align}$ ist ebenfalls richtig - es ist dasselbe Dreieck, über das du da integrierst, nur eben in anderer Integrationsreihenfolge.
11.07.2016, 13:40	Dukkha	Auf diesen Beitrag antworten »
Edit (mY+): Vollquote entfernt. Zum Antworten bitte den Antwort-Buttom klicken! Hallo HAL 9000, Vielen Dank für die Antwort. Ich bin noch auf folgendes gestossen: $\begin{eqnarray} X,Y,Z \end{eqnarray}$ sind auf $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ gleichverteilt und unabhängig. Es gilt $\begin{eqnarray} P(X\leq Y\leq Z)=\int_0^1 \mathrm{d}x \int_0^x \mathrm{d}y \int_0^y \mathrm{d}z \end{eqnarray}$ Leider verstehe überhaupt nicht, wie man auf diese Grenzen kommt. Ich nehme an, es handelt sich hier um die Physiker-Notation. Kannst du mir das erklären? Warum gehen zum Beispiel die Integralgrenzen des mittleren Integrals von $\begin{eqnarray} [0,x] \end{eqnarray}$ obwohl $\begin{eqnarray} P(Y\leq Z) \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} P(X\leq Y) \end{eqnarray}$ gefragt ist?
11.07.2016, 14:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man mal annimmt, dass die Integrationsvariablen $\begin{align} x,y \end{align}$ bzw. $\begin{align} z \end{align}$ den Dichten der Zufallsvariablen $\begin{align} X,Y \end{align}$ bzw. $\begin{align} Z \end{align}$ zugeordnet sind, dann müsste es vom Inhalt her eher $\begin{align} P(X\leq Y\leq Z) = \int_0^1 \dd z \int_0^z \dd y \int_0^y \dd x \end{align}$ heißen. "Falsch" ist es natürlich nicht, was in deinem Beitrag steht, denn wegen der Symmetrie der drei drei Verteilungen stimmt es trotzdem.
11.07.2016, 23:23	Dukkha	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen vielen Dank!

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