Berechnung der Wkt (bei unabhängigem Ausfall von 3 Komponenten) - Exponentialverteilung

11.07.2016, 16:56	Matt99	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung der Wkt (bei unabhängigem Ausfall von 3 Komponenten) - Exponentialverteilung Ein Laborgerät besteht aus drei wesentlichen Komponenten A, B und C, die allesamt eine expoenential-verteilte Lebensdauer besitzen. Ihre mittlere Lebensdauer ist jeweils mit 4 Jahren angegeben. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass A mindestens 5 Jahre funktioniert. $\begin{eqnarray} A~Exp (\lambda)<br /> \lambda=\frac{1}{EW}=\frac{1}{4 Jahre}<br /> <br /> P(A\ge 5 Jahre) = F_x(A) = \begin{cases} 1-e^{-\lambda \cdot x} \; fuer x > 0 \\ 0 \; sonst\end{cases}<br /> P(A\ge 5 Jahre) =1- P(A < 5 Jahre)<br /> = 1-(1-e^{-\frac{1}{4 Jahre} \cdot 5 Jahre \cdot x})<br /> = 0,2865<br /> \end{eqnarray}$ Sollte hinkommen. Ich denke, dass die nächste Frage auf diese Erkenntnis aufbaut. b) Das Laborgerät arbeitet nicht, wenn mindestens eine seiner Komponenten ausfällt. Wie lange funktioniert das Gerät mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%, wenn die Komponenten unabhängig voneinander ausfallen? Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} A~Exp (\lambda)<br /> B~Exp (\lambda)<br /> C~Exp (\lambda)<br /> <br /> \lambda=\frac{1}{EW}=\frac{1}{4 Jahre}<br /> <br /> F_x(A)= 90% = 0,9<br /> 0,9 = 1-(1-e^{-\frac{1}{4Jahre} \cdot x})<br /> \end{eqnarray}$ ... und dann nach X umstellen. Hab es erstmal nur für Komponente A gemacht. Ist das richtig, oder läuft da hier eventuell sogar über die Binomialverteilung ab? $\begin{eqnarray} n = 3; k = 0, p = 0,2865<br /> X~Bin(3; 0,2865)<br /> P(X \ge 0) = 1 - (\binom{3}{0} 0,2865^{0} * (1-0,2865)^{3})<br /> = 1- (0,36323) = 0,63677 \end{eqnarray*}$ ... aber dann hätte ich ja wieder eine Wahrscheinlichkeit ausgerechnet. Und zwar, mit welcher Wahrscheinlichkeit mindestens ein Gerät bei p=0,2865 ausfällt. Ich befürchte fast, es läuft hier über den log. Jemand eine Idee?
11.07.2016, 17:43	Matt99	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigt den Doppelpost, aber ich kriege immer die Meldung, das ich nur alle 15min meinen Beitrag bearbeiten kann. Merkwürdig. Auf jedenfall habe ich jetzt meine Lösung. Der erste Ansatz war richtig, damit wäre x = 0,42144 wenn ich das nun durch 3 dividiere (bzw. mit 1/3 multipliziere), erhalte ich 0,14048 was mit der Lösung übereinstimmt.

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