Residuen-Beispiel

11.07.2016, 19:20	Probability	Auf diesen Beitrag antworten »
Residuen-Beispiel Guten Abend, ich habe Fragen zu dem Beispiel im Anhang. 1. Also C ist in dem Beispiel meine geschlossene Kurve, die Null nicht enthält. Dann müsste n(4C,0)=4 ja die Windungszahl sein, d.h. also 4 mal "fährt" man um den Punkt Null in der Kurve C. - Stimmts? 2. Zu berechnen ist doch das Kurvenintegral der Kurve C mit der Funktion f(z). Dazu gibt es doch einen sog. Residuen-Satz: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2\pi i}\int_C f(z) dz = \sum_{k=1}^n n(kC,z_k) res_{z_k} f \end{eqnarray}$ . Wobei man das ja auch gerne so schreibt, wenn man die Integralgrenzen kennt: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}R(x)dx = 2\pi i \sum_{k=1_{Im z_k>0}}^n res_{z_k} R \end{eqnarray}$ Und hier arbeitet man ja mit Polynomen etc. und Nullstellen des Nenners von der gegbenen Funktion ausrechnen und die mit dem pos. Imaginärteil werden zur Berechnung des Residums hergenommmen. Jetzt die Frage: Wie funktioniert das denn hier in meiner Aufgabe? Ich wieß nicht mehr weiter. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen! Gruß Probability
12.07.2016, 01:26	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Residuen-Beispiel Die $\begin{eqnarray} z_k \end{eqnarray}$ sind die singulaeren Stellen von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ im Inneren von $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ . Fuer die musst Du jeweils das Residuum und die Windungszahl bestimmen. Und dann halt in die Formel einsetzen. (Die erste, die zweite gehoert hier nicht hin.)
12.07.2016, 12:57	Probability	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, also mit z_k meinten wit immer die Nullstellen von Q(z). Und R(z)=P(z)/Q(z) - und falls z_k eine einfache Nullstelle hat, dann kann ich gleich sagen, dass mein Residum = P/Q' ist. Und ja, man nimmt immer jene Nullstelle, die auch innerhalb von C sind. Aber hier muss ich anscheinend diese Methodik gar nicht anwenden, stimmt das? Aber wie muss ich sonst vorgehen?
12.07.2016, 16:57	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst Du zu $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{3\cos z}{z} \end{eqnarray}$ die singulaere Stelle angeben? Und dann die Laurent-Entwicklung um diese Stelle?
12.07.2016, 18:08	Probability	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Begriffe wie singuläre Stelle und Laurent-Entwicklung sind in der VL nicht gefallen, auch im Skriptum wird nichts darüber erwähnt. Die Lösung hab ich mal in den Anhang gepackt. Ich weiß folgendes über dieses Thema: Die gegebene Funktion f muss holomorph sein. Zumindest in fast ganz $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ . In dem Beispiel fällt ja Null z.B. raus, da eine Division durch Null ja nicht definiert ist. Und dann gibts halt den oben genannten Residuensatz und das Residum wird folgendermaßen berechnet: $\begin{eqnarray} res_{z_k} f=\frac{g_k^{(n-1)}(z_k)}{(n-1)!} \end{eqnarray}$ das n ist bei Polynomen die Vielfachheit der Nullstelle von $\begin{eqnarray} z_k \end{eqnarray}$ . Ich weiß wie man $\begin{eqnarray} g_k \end{eqnarray}$ berechnet, wenn ich Polynome habe, aber wie es hier funktioniert ist mir ein Rätsel auch die Lösung hilft mir da nicht so weiter. Allgemein kann man noch sagen, dass sich die ursprüngliche Funktion f folgendermaßen darstellen lässt: $\begin{eqnarray} f(z) = \frac{g_k(z)}{(z-z_k)^n} \end{eqnarray}$ Und da hier das gegebenen f(z) schon die obige Form hat, kann ich das also 1:1 übernehmen? Denn $\begin{eqnarray} g_k=cos(z) \end{eqnarray}$ muss ja holomorph sein und ist es zugleich auch. Und meine Nullstelle unten ist doch z=0, also setze ich für $\begin{eqnarray} z_k=0 \end{eqnarray}$ ein und die Vielfachheit ist 1. Stimmt das so bzw. ist das das Prinzip? Wenn ich so eine Form schon habe, brauche ich das nicht mehr genauer ausrechnen, wie ich schon im letzten Beitrag erwähnt habe(Polynome etc.)?
12.07.2016, 21:25	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Formel $\begin{eqnarray} \mathop{\rm res}\nolimits_a\frac{g(z)}{(z-a)^n}=\frac{g^{(n-1)}(a)}{(n-1)!} \end{eqnarray}$ aus dem Kochrezept gilt fuer jede Funktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ , die um $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ holomorph ist. Wenn Du streng nach Rezept kochen willst/musst, dann passt die offensichtlich hier hin wie die Faust auf's Auge. Wer weiss, was er tut, wuerde ja eher aus $\begin{eqnarray} \frac{3\cos z}{z}=\frac{3}{z}+\cdots \end{eqnarray}$ das Residuum direkt ablesen. Aber wenn ihr gar nicht wisst, was ihr da tut, dann eruebrigt sich das natuerlich.
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12.07.2016, 23:29	Probability	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, aber ich möchte es gerne besser verstehen. Stimmt es, dass dieses von dir genannte a nicht auf der Kurve draufsein dürfen, sondern nur Innen, wie du sagtest - richtig? Und warum hat die gegebene Funktion f(z) ein sternförmiges Gebiet genau ohne dieser a's als Definitionsbereich? Weil die Funktion auf der Kurve C definiert ist? Ich kann mir das schwerz vorstellen, wie f(z) mit C zusammenhängen soll. Und g_k soll jetzt eine Funktion sein, die in einer Kreisscheibe um a holomorph ist. Was bedeutet das genauer? Ich hoffe du kannst mir da weiterhelfen, dass ich wenigstens ein bisschen mehr davon verstehe bitte. Ich finde da nirgends eine gute Erklrärung, leider...

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