Lineare Abbildung

11.07.2016, 20:12

BigHelp

Lineare Abbildung

Meine Frage:
Hallo,

Ich sitze grade bei einer Aufgabe, bei der ich nicht weiter komme:
Aufgabe ist im Anhang.

Meine Ideen:
Ich weiss bei dieser Aufgabe überhaupt nicht wie ich weiterkommen soll, bzw. womit ich anfangen soll unglücklich

12.07.2016, 08:51

klarsoweit

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RE: Lineare Abbildung
Was mich an dem Aufgabentext irritiert, ist:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} h: \mathbb R[x] \rightarrow Abb(\mathbb N, \mathbb R) \end{eqnarray*}$ .

Ich hätte eher dies erwartet: Es sei $\begin{eqnarray*} h: \mathbb R[x] \rightarrow \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .
Vielleicht läßt sich das noch klären.
Prinzipiell solltest du aber wenigstens die Aufgabe 1 lösen können. Auch die anderen Aufgaben sind keine himmelhohen Hürden. smile

12.07.2016, 09:39

Mathebäh

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ICh hab da eine ähnliche Augabe und bin mir nicht sicher bei der Aufgabe 1.

wäre es richtig den folgengen Ansatz zu verfolgen:

(1+x²-x³+4x^5) = (a0 + a1, a1 + a2,,,,)

weiter komm ich nicht verwirrt

12.07.2016, 10:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathebäh
wäre es richtig den folgengen Ansatz zu verfolgen:

(1+x²-x³+4x^5) = (a0 + a1, a1 + a2,,,,)

Wenn überhaupt, dann so: h(1+x²-x³+4x^5) = (a0 + a1, a1 + a2, ...) , wobei du die Werte für a0, a1, etc. konkret angeben kannst. smile

12.07.2016, 10:45

Elvis

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RE: Lineare Abbildung

Zitat:

Original von klarsoweit
Was mich an dem Aufgabentext irritiert, ist:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} h: \mathbb R[x] \rightarrow Abb(\mathbb N, \mathbb R) \end{eqnarray*}$ .

Ich hätte eher dies erwartet: Es sei $\begin{eqnarray*} h: \mathbb R[x] \rightarrow \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .
Vielleicht läßt sich das noch klären.

$\begin{eqnarray*} h: \mathbb R[x] \rightarrow Abb(\mathbb N, \mathbb R) \end{eqnarray*}$ ist völlig richtig, denn die Bilder der Polynome n-ten Grades sind Folgen reeller Zahlen, deren Glieder ab dem n-ten Glied gleich 0 sind. Da für jede natürliche Zahl n Polynome n-ten Grades existieren, kann der Bildraum von h nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ für ein festes n sein.

12.07.2016, 11:59

Mathebäh

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RE: Lineare Abbildung
Ha verstehe ich vielen Dank.

Was heißt: Wobei du kannst die Werte für a0, a1, etc. konkret angeben kannst.

Ist darunter gemeint, dass man a mit den Rellen Zahlen ersetzen kann?

12.07.2016, 12:59

Elvis

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Nein, Polynome sind nicht reelle Zahlen.
Polynome vom Grad $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ haben die Form $\begin{eqnarray*} p(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i=(a_0,a_1,...,a_n,0,0,...)\in \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ , das sind formal unendliche Potenzreihen mit nur endlich vielen von 0 verschiedenen Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_i\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Man kann den reellen Vektorraum der Polynome also auffassen als Untervektorraum des reellen Vektorraums der formalen Potenzreihen $\begin{eqnarray*} P(x)=\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i=(a_0,a_1,...,a_n,a_{n+1},...)\in \mathbb R[[x]]=Abb(\mathbb N,\mathbb R)=\mathbb R^{\mathbb N} \end{eqnarray*}$ , das ist der Vektorraum der Abbildungen von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

12.07.2016, 13:16

klarsoweit

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RE: Lineare Abbildung

Zitat:

Original von Mathebäh
Was heißt: Wobei du kannst die Werte für a0, a1, etc. konkret angeben kannst.

Für das konkrete Polynom p(x) = 1+x²-x³+4x^5 kann man die Koeffizienten auch konkret angeben. Augenzwinkern

Aber eigentlich ist der Thread von BigHelp. Ich halte es für nicht so geschickt, daß darin nun deine Fragen beantwortet werden sollen.

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