Komplexe Zahlen, leicht ablesbar

12.07.2016, 09:20

EvelKnevel

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Komplexe Zahlen, leicht ablesbar

Moorgen! Ich suche nach den gängisten Methoden bei den komplexen Zahlen die sich leicht ablesen lassen in der Expotenialform und in die Kartesische Form bringe?

expotenialform; z = r * e^(j * phi) kartesischeform: x + jy

da pi = 180 grad ist lassen sich ja einige Sachen gut umschreiben in die Kartesische Form z.B wenn der Winkel genau auf die imaginäre Achse fällt bei 180 oder 270°C, dann wird ja r sofort zum x

welche weiteren Winkel und Zahlen lassen sich denn leicht umschreiben und vorallem warum?

12.07.2016, 09:29

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen, leicht ablesbar
Beliebt sind hier außerdem die Diagonalwinkel (Vielfache von 45°), bei denen sich die kartesischen Werte mit $\begin{align*} r \cdot \frac { \sqrt 2 } 2 \end{align*}$ ergeben.

Und noch Vielfache von 30°, bei denen erwartet wird, dass man das gleichseitige Dreieck sieht, z.B. $\begin{align*} x = r \cdot \cos 30 ^\circ = r \cdot \frac { \sqrt 3 }2 \end{align*}$ usw.

Viele Grüße
Steffen

12.07.2016, 10:36

Elvis

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Nach Euler lässt sich jeder reelle Winkel zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ gut umschreiben, denn es ist $\begin{eqnarray*} e^{i\varphi}=cos(\varphi)+i\cdot sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ , und für alle Winkel ist $\begin{eqnarray*} e^{i(2k\pi+\varphi)}=e^{i\varphi} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Klar ist auch $\begin{eqnarray*} re^{i\varphi}=r\cdot cos(\varphi)+ir\cdot sin(\varphi) \end{eqnarray*}$

12.07.2016, 14:04

EvelKnevel

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RE: Komplexe Zahlen, leicht ablesbar

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Beliebt sind hier außerdem die Diagonalwinkel (Vielfache von 45°), bei denen sich die kartesischen Werte mit $\begin{align*} r \cdot \frac { \sqrt 2 } 2 \end{align*}$ ergeben.

Und noch Vielfache von 30°, bei denen erwartet wird, dass man das gleichseitige Dreieck sieht, z.B. $\begin{align*} x = r \cdot \cos 30 ^\circ = r \cdot \frac { \sqrt 3 }2 \end{align*}$ usw.

Viele Grüße
Steffen

dankeschön! Ich mein aber wirklich Werte die man ohne TR sieht! Oder ist das bei diesen auch der Fall?

ein Kommilitone meinte das auch wurzel(2)*e^j(pi/4) dazu zählt. (was 45 ° entspricht)

gibt es zusammenhang zwischen 45° und wurzel von 2?

12.07.2016, 14:06

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen, leicht ablesbar
Vielleicht hast Du meinen Beitrag ja nicht gelesen.

Betrachte ein Quadrat mit Kantenlänge Eins.

Welche Länge und welchen Winkel hat die Diagonale?

12.07.2016, 14:22

Elvis

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Für sin und cos brauche ich keinen Taschenrechner, das sind für mich alle Punkte auf dem Einheitskreis.

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12.07.2016, 15:12

EvelKnevel

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RE: Komplexe Zahlen, leicht ablesbar

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Vielleicht hast Du meinen Beitrag ja nicht gelesen.

Betrachte ein Quadrat mit Kantenlänge Eins.

Welche Länge und welchen Winkel hat die Diagonale?

anscheinend nicht richtig.

gut, wir sind uns schonmal über den Winkel 45 einig, allerdings verstehte ich nicht genau was du mit $\begin{align*} r \cdot \frac { \sqrt 2 } 2 \end{align*}$ meinst.

Sind das Werte wenn der Winkel 45 ° ist, dass r aus der Polarform = das x aus der Kartesischen Form, wenn r eine "Wurzelzahl" ist?

Danke für deine Mühe!

12.07.2016, 15:31

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen, leicht ablesbar
Wenn der Winkel 45° ist und die Kantenlänge (also die kartesischen Werte) Eins, dann ist die Diagonale (also der Betrag der komplexen Zahl 1+i) $\begin{align*} \sqrt 2 \end{align*}$ .

Für diesen Winkel bekommst Du also die kartesischen Koordinaten, indem Du den Betrag durch $\begin{align*} \sqrt 2 \end{align*}$ dividierst. Oder eben mit $\begin{align*} \frac {\sqrt 2}2 \end{align*}$ multiplizierst. Das ist dasselbe, wie Du leicht zeigen kannst.

12.07.2016, 15:52

EvelKnevel

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RE: Komplexe Zahlen, leicht ablesbar

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Wenn der Winkel 45° ist und die Kantenlänge (also die kartesischen Werte) Eins, dann ist die Diagonale (also der Betrag der komplexen Zahl 1+i) $\begin{align*} \sqrt 2 \end{align*}$ .

Für diesen Winkel bekommst Du also die kartesischen Koordinaten, indem Du den Betrag durch $\begin{align*} \sqrt 2 \end{align*}$ dividierst. Oder eben mit $\begin{align*} \frac {\sqrt 2}2 \end{align*}$ multiplizierst. Das ist dasselbe, wie Du leicht zeigen kannst.

woher weiß man wie weit die Kantenlänge ist? Die Aufgaben sind in etwa so gestellt

z1 = 1 - j
z2 = Wurzel(2) * e^((3*pi)/4) -> was ja einem dreifachen vom 45° entspricht
z3 = 2*e^j((3*pi)/2) -> was 270° entspricht und somit auf der imaginären Achse liegt

und jetzt soll man z.B z2 und z3 in die Karteische Form unberechnen (OHNE TASCHENRECHNER)

Die Sache mit dem dividieren oder multiplizieren, gerade mit Wurzeln fällt etwas schwer bzw. für mich eigentlich unmöglich umzurechenen. Daher auch meine Frage, Ob der r Wert gleich dem X Wert der kartesischen Form ist.

12.07.2016, 16:04

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen, leicht ablesbar

Zitat:

Original von EvelKnevel
z2 = Wurzel(2) * e^((3*pi)/4) -> was ja einem dreifachen vom 45° entspricht

Das ist also ein Zeiger der Länge $\begin{align*} \sqrt 2 \end{align*}$ , der nach links unten zeigt. Den kann man dann in x- und y-Komponenten der jeweiligen Länge 1 zerlegen (eben weil ja durch $\begin{align*} \sqrt 2 \end{align*}$ geteilt wird. Dabei zeigt x nach links (ist also -1) und y nach unten (ist also auch -1). So bekommt man also -1-i.

Zeichne Dir mal ein Quadrat mit den gegenüberliegenden Eckpunkten (0|0) und (-1|-1). Siehst Du, was ich meine?

Zitat:

Original von EvelKnevel
z3 = 2*e^j((3*pi)/2) -> was 270° entspricht und somit auf der imaginären Achse liegt

Also ein Zeiger der Länge 2, der nach unten zeigt. Zeichne auch diese Linie mal ins Koordinatensystem. Bei welchem Punkt landet sie? Genau: bei (0|-2). Und das ist schon die gesuchte Zahl -2i.

12.07.2016, 16:38

EvelKnvel

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RE: Komplexe Zahlen, leicht ablesbar

Zitat:

Original von Steffen Bühler

Also ein Zeiger der Länge 2, der nach unten zeigt. Zeichne auch diese Linie mal ins Koordinatensystem. Bei welchem Punkt landet sie? Genau: bei (0|-2). Und das ist schon die gesuchte Zahl -2i.

Den Punkt hab ich verstanden. Die Länge des Zeigers ist automatisch x, da diese auf der Imaginären Achse liegt, 2j

Zitat:

Original von Steffen Bühler

Das ist also ein Zeiger der Länge $\begin{align*} \sqrt 2 \end{align*}$ , der nach links unten zeigt. Den kann man dann in x- und y-Komponenten der jeweiligen Länge 1 zerlegen (eben weil ja durch $\begin{align*} \sqrt 2 \end{align*}$ geteilt wird. Dabei zeigt x nach links (ist also -1) und y nach unten (ist also auch -1). So bekommt man also -1-i.

Zeichne Dir mal ein Quadrat mit den gegenüberliegenden Eckpunkten (0|0) und (-1|-1). Siehst Du, was ich meine?

Dies hab ich jetzt nicht so verstanden, wenn ich ehrlich bin.

Oder sagt Wurzel(2) bei einem 45,135,225,315 automatisch, dass die x und y 1 bzw -1 sind?

Danke dir!

12.07.2016, 16:47

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen, leicht ablesbar

Zitat:

Original von EvelKnvel
sagt Wurzel(2) bei einem 45,135,225,315 automatisch, dass die x und y 1 bzw -1 sind?

Richtig! Die Beträge von x und y sind bei diesen vier Winkeln dann zwangsläufig Eins. Eben weil beim Quadrat die Diagonale das $\begin{align*} \sqrt 2 \end{align*}$ -Fache der Kantenlänge ist.

12.07.2016, 17:03

EvelKnevel

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RE: Komplexe Zahlen, leicht ablesbar

Zitat:

Original von Steffen Bühler

Zitat:

Original von EvelKnvel
sagt Wurzel(2) bei einem 45,135,225,315 automatisch, dass die x und y 1 bzw -1 sind?

Richtig! Die Beträge von x und y sind bei diesen vier Winkeln dann zwangsläufig Eins. Eben weil beim Quadrat die Diagonale das $\begin{align*} \sqrt 2 \end{align*}$ -Fache der Kantenlänge ist.

Vielen Dank!!!!

Umgedreht sprich von kartischer in Polarform geht wahrscheinlich nicht so leicht, oder? Bzw gibts noch andere leicht ablesbare Polarformen die man in die Kartesische umwandeln kann?

12.07.2016, 17:12

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen, leicht ablesbar
Die Umkehrung, aus 1+i (oder auch 1000-1000i oder etwa auch -42) die Polarform zu bilden, ist natürlich dasselbe in grün.

Wie gesagt, mit den 30°- und 60°-Winkeln müsstest Du ebenfalls im Schlaf die kartesischen Komponenten kennen. Entsprechend auch hier die Umkehrung: auch die Polardarstellung von $\begin{align*} \sqrt 3 + i \end{align*}$ solltest Du ohne Taschenrechner hinkriegen.

12.07.2016, 17:23

EvelKnvel

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RE: Komplexe Zahlen, leicht ablesbar

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Die Umkehrung, aus 1+i (oder auch 1000-1000i oder etwa auch -42) die Polarform zu bilden, ist natürlich dasselbe in grün.

Wie gesagt, mit den 30°- und 60°-Winkeln müsstest Du ebenfalls im Schlaf die kartesischen Komponenten kennen. Entsprechend auch hier die Umkehrung: auch die Polardarstellung von $\begin{align*} \sqrt 3 + i \end{align*}$ solltest Du ohne Taschenrechner hinkriegen.

Also bei 30° und 60° mit Wurzel(3) ist das selbe Schema wie bei bei 45°, 135°... mit Wurzel(2). Dort werden dann auch die x und y 1 bzw -1 ?

Danke dir.

12.07.2016, 17:32

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen, leicht ablesbar
Du musst mich nicht immer zitieren, ich weiß schon, was ich geschrieben habe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nein, das Schema ist nicht dasselbe. Bei 45° etc. sind die Katheten gleich lang und die Hypotenuse ist $\begin{align*} \sqrt 2 \end{align*}$ -mal so lang wie die Katheten.

Bei 30°, 60° etc. dagegen ist eine Kathete $\begin{align*} \sqrt 3 \end{align*}$ -mal so lang wie die andere.

Deswegen sind Vielfache von $\begin{align*} \sqrt 2 \end{align*}$ bei der Polardarstellung und Vielfache von $\begin{align*} \sqrt 3 \end{align*}$ bei der kartesischen Darstellung ein Indiz, dass man den Taschenrechner ausschalten kann.

13.07.2016, 13:59

EvelKnevel

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werd ich unterlassen. :P

letzte Frage bzw überprüfung!

z1 = 2e^J(Pi/2) in kartesischer Form -> 2j

und umgekehrter Fall: z2 = -1 + j -> Wurzel(2) * e^J(135°)

stimmt dies?

13.07.2016, 14:07

Steffen Bühler

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Ja, beides korrekt.

Viele Grüße
Steffen

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