Reihen/Folgen und ihre Kriterien

12.07.2016, 16:47

Abstract

Reihen/Folgen und ihre Kriterien

Hallo,

ich habe mir heute die Kriterien zu Reihen/Folgen angesehen und habe auch gleich viel geübt und möchte doch ein paar Beispiele diskutieren bitte:

(1) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{\sqrt{n^3-1}}}{n^2+1} \geq \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{\frac{3}{4}}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \end{eqnarray*}$

Hier habe ich das Majorantenkriterium angewandt, d.h. wenn die größere Reihe konvergiert, dann konvergiert auch die kleinere Reihe. Müsste so stimmen, denke ich.

Aber: Anscheinend konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s > 1 \end{eqnarray*}$ . Wäre $\begin{eqnarray*} s=1 \end{eqnarray*}$ , dann würde die Reihe divergieren, da ja unendlich vieler Glieder addiert werden, zwar unendlich viele kleine Glieder, aber halt unendlich viele. --> divergiert. Bei $\begin{eqnarray*} s>1 \end{eqnarray*}$ wächst halt der Nenner immer stärker/schneller an, d.h. der Nenner wird nochmals viel viel kleiner und darum konvergiert diese Folge? Oder was ist der Grund dafür?

(2) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty (-1)^n\cdot \frac{1}{n\cdot \log n} \end{eqnarray*}$ Leibnitz besagt, wenn die alternierende Folge konvergiert, dann konvergiert auch ihre alternierende, also dann die nicht-alterniernde mit dem Verdichtungskriterium behandelt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\log 2}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ --> Offentsichtlich divergiert diese Reihe.

Das Verdichtungskriterium besagt doch, wenn es sich um ein monoton fallende Nullfolge handelt, dann konvergiert dessen Reihe, wenn die verdichtete Reihe konvergiert.

Umkehrschluss beim Verdichtungskriterium: Wenn die verdichtete eihe nicht konvergiert, dann konvergiert auch die ursprüngliche Reihe nicht.
Umkehrschluss bei Leibnitz: Wenn die ursprüngliche Reihe nicht konvergiert, dann konvergiert auch nicht ihre alternierende Reihe. Also divergiert die alternierende Reihe.

---> Kann ich das so sagen?

Gruß
Abstract

12.07.2016, 16:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Abstract
(1) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{\sqrt{n^3-1}}}{n^2+1} \geq \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{\frac{3}{4}}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \end{eqnarray*}$

Hier habe ich das Majorantenkriterium angewandt, d.h. wenn die größere Reihe konvergiert, dann konvergiert auch die kleinere Reihe. Müsste so stimmen, denke ich.

Mit Ausnahme dessen, dass du dich beim Relationszeichen verschrieben hast - es muss $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{\sqrt{n^3-1}}}{n^2+1} \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{\frac{3}{4}}}{n^2} \end{eqnarray*}$ heißen. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Abstract
Leibnitz besagt, wenn die alternierende Folge konvergiert, dann konvergiert auch ihre alternierende, also dann die nicht-alterniernde mit dem Verdichtungskriterium behandelt

Wie bitte??? unglücklich

Leibniz sagt, wenn wir eine positive monoton fallende Nullfolge $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ haben, dann konvergiert die alternierende Reihe $\begin{align*} \sum_n (-1)^n a_n \end{align*}$ .

12.07.2016, 18:09

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Oh, sorry sorry, stimmt schon danke, hab mich da echt vertan!

$\begin{eqnarray*} (1) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{\sqrt{n^3-1}}}{n^2+1} \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{\frac{3}{4}}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \end{eqnarray*}$

Ah ich glaube ich habe auch eine Begründung dafür gefunden, warum die rechte Seite konvergiert:
Gegeben ist die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} \end{eqnarray*}$ . Diese Reihe konvergiert doch, wenn ihrer verdichtete konvergiert, da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^s} \end{eqnarray*}$ eine monoton fallend Nullfolge ist.

D.h. die verdichtete Reihe lautet $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n\cdot(1-s)}} \end{eqnarray*}$ und wenn $\begin{eqnarray*} s=1 \end{eqnarray*}$ , dann wird 2 unendlich oft aufsummiert --> divergiert.
Bei $\begin{eqnarray*} s>1 \end{eqnarray*}$ habe ich dann ja einen negativen Exponenten, d.h. ich habe so etwas wie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{n\cdot p}} \end{eqnarray*}$ stehen, wobei dann im Nenner $\begin{eqnarray*} p>0 \end{eqnarray*}$ sein muss, denn $\begin{eqnarray*} p=1-s \end{eqnarray*}$ ist mit $\begin{eqnarray*} s>1 \end{eqnarray*}$ im Zähler negativ. Und im Nenner dann halt positiv logischerweise.
Aber warum konvergiert das? Weil das "unendlichste" Glied der Reihe immer schneller an Null annähert und man es nicht mehr bis unendlich schafft? Sie wächst halt so schnell eben weil der Index im Exponenten steht und der Nenner wird sehr schnell sehr groß. Z.B. die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ divergiert, aber ihr Nenner wird nicht so schnell groß. Ist das der Grund dafür?

$\begin{eqnarray*} (2) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty (-1)^n\cdot \frac{1}{n\cdot \log n} \end{eqnarray*}$

Dann bin ich dieses Beispiel falsch angegangen. D.h. ich müsste überprüfen, ob $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n\cdot \log n} \end{eqnarray*}$ eine positiv monoton fallende Nullfolge ist. Also muss folgendes gelten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n\cdot \log n}\geq \frac{1}{(n+1)\cdot \log (n+1)} \Rightarrow n\cdot \log n\leq (n+1)\cdot \log (n+1) \end{eqnarray*}$ --> Sie ist schon mal monoton fallend, da die Ungleichung erfüllt ist.

Und es handelt sich auch um eine Nullfolge, da der Nenner immer größer wird und letzteendlich konvergiert die Folge gegen Null.

Also konvergiert nun ihre alternatierende Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty (-1)^n\cdot \frac{1}{n\cdot \log n} \end{eqnarray*}$ und man braucht das Verdichtungskritierum gar nicht. - Richtig?

Und laut dem Verdichtungskriterium divergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\cdot \log n} \end{eqnarray*}$ . - Stimmt das auch?

13.07.2016, 06:45

HAL 9000

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Zu (1): Deine Argumentation mit dem Verdichtungskriterium ist im Grundsatz Ok, allerdings hast du einen gravierende Rechenfehler drin - vielleicht hast du es auch nur falsch aufgeschrieben:

Für $\begin{align*} a_n = \frac{1}{n^s} \end{align*}$ lautet die verdichtete Reihe

$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} 2^n a_{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{2^{ns}} = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n(1-s)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n(s-1)}} \end{align*}$ ,

das steht falsch bei dir. unglücklich

Setzt man $\begin{align*} q:=2^{1-s} \end{align*}$ , so entspricht das einer geometrischen Reihe $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} q^n \end{align*}$ . Ist $\begin{align*} s>1 \end{align*}$ , so entspricht das $\begin{align*} 0<q<1 \end{align*}$ , und somit ist diese geometrische Reihe konvergent.

Zitat:

Original von Abstract
Also konvergiert nun ihre alternatierende Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty (-1)^n\cdot \frac{1}{n\cdot \log n} \end{eqnarray*}$ und man braucht das Verdichtungskritierum gar nicht. - Richtig?

Und laut dem Verdichtungskriterium divergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\cdot \log n} \end{eqnarray*}$ . - Stimmt das auch?

Beides richtig.

13.07.2016, 16:10

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Danke! Das war ein Abschreibfehler.

Stimmt, die geom. Reihe konvergiert für q zwischen Null und Eins, denn dann kann ich q als Bruch schreiben, also halt so: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n(s-1)}} \end{eqnarray*}$ Wenn s>1 ist, dann konvergiert diese Reihe. Für s=1 und s<1 divergiert diese logischerweise, denn dann ist der Exponent negativ unten und es werden ganze Zahlen unendlich mal aufsummiert. Ja, jetzt ist es klar.

Folgendes möcht ich noch diskutieren bitte:
(3) Anwendung des Quotientenkriteriums

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1} \end{eqnarray*}$

Auf diese Folge wird nun das Quotientenkriterium angewandt(Da diese Folge keine monoton fallende Nullfolge ist, funktioniert Leibnitz leider nicht):

Definition: $\begin{eqnarray*} q_+ = \lim \sup |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q_- =\lim \inf |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \end{eqnarray*}$

1. Ist $\begin{eqnarray*} q_+ < 1 \end{eqnarray*}$ , dann ist die Reihe absolut konvergent.
2. Ist $\begin{eqnarray*} q_- > 1 \end{eqnarray*}$ , dann ist die Reihe divergent.

Angewandt auf mein obiges Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}=-x\frac{n+1}{n+2}\to -x \end{eqnarray*}$ - Okay man sieht leicht, dass die Folge gegen -x konvergiert.

Ich nehme an, dass die Reihe für $\begin{eqnarray*} |x| < 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert und für $\begin{eqnarray*} |x| > 1 \end{eqnarray*}$ divergiert.

Jedoch gibt es ein paar Sonderfälle:
Für x=-1 divergiert die Reihe, da so die Reihe nicht mehr alterniert habe ich eine harmonische Reihe, die eben divergiert.
Für x=1 konvergiert die Reihe, da das eine monoton fallende Nullfolge ist und laut Leibnitz konvergiert dessen alternierende Reihe.

Ein paar Fragen dazu bitte:
1. Obiges müsste stimmen, richtig?
2. Kann ich das Quotientenkriterium dann in dem Sinne abkürzen: wenn ich einfach den $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \end{eqnarray*}$ untersuche und gucke, wenn 'das' gegen <1 geht, dann konvergiert(absolut) meine Reihe und wenn 'das' gegen >1 geht, divergiert meine Reihe. - Ist das, das Prinzip des Quotientenkriteriums?

3. Und Ähnliches müsste halt dann auch fürs Wurzelkritierum gelten. Da gibt es halt auch nur den lim sup. Also hier schaue ich mir sowieso nur einen Limes an, aber beim Quotientenkritierum gibt es den lim sup und lim inf und wenn ich das oben richtig erklärt habe, dann schaue ich mir im Prinzip eh nur einen Limes an, oder?

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