Bestimmung des Signums eines Zykels |
| 13.07.2016, 14:08 | Dominik71296 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Bestimmung des Signums eines Zykels Hallo, ich verzweifel gerade an einer Aufgabe, weil ich mit den Begriffen Permutationen usw. noch nicht so gut umgehen kann. Meine Aufgabe lautet wie folgt: Eine Permutation pi aus der symmetrischen Gruppe n heißt r-Zykel, wenn es paarweise verschiedene Elemente a_1,...,a_r aus der Menge {1,...,n} gibt mit pi(a_i)=a_i+1 für i=1,...,r-1 pi(a_r)=a_1 und pi alle übrigen Elemente von {1,...,n} fest lässt. Bestimmen Sie das Signum für einen r-Zykel pi aus der symmetrische Gruppe n. Meine Ideen: Ich dachte mir vielleicht, dass man die Fehlstände zählen könnte und dann damit das Signum berechnen kann, indem man sagt sgn(pi)=(-1)^k, wobei k die Anzahl der Fehlstände ist. Sieht die Permutation so aus : , dann gilt ja auch, dass der Fehlstand 1 beträgt. Das könnte man ja so weiterführen bis n und der Fehlstand würde immer 1 betragen, also wäre das Signum immer -1. Dann ist mir aber aufgefallen, dass die Elemente a_1 bis a_r ja nicht unbedingt in der obigen Reihenfolge sein müssen... Ich weiß jetzt leider gar nicht, wie man das machen soll und hoffe, dass mir jemand helfen kann. Vielen Dank im Voraus 
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| 13.07.2016, 14:30 | Dominik. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kennst du die Produktformel? Siehe etwa den Wikipedia-Artikel de.wikipedia.org/wiki/Vorzeichen_(Permutation)#Produktformel |
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| 13.07.2016, 14:38 | Dominik.... | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Bestimmung des Signums eines Zykels Generell kenne ich sie, allerdings habe ich noch Schwierigkeiten, damit umzugehen und dementsprechend kann ich die auch leider nicht auf die Aufgabe übertragen... Wie kann man diese Formel denn für die Aufgabe benutzen? |
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| 13.07.2016, 14:41 | Dominik. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Welche bijektive Funktion $\pi$ wird denn durch deine Zykelschreibweise ausgedrückt? Schreibe sie einmal hin, also |
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| 13.07.2016, 14:49 | Dominik.... | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber das ist ja nur ein Beispiel und man soll das in der Aufgabenstellung doch allgemein machen oder? |
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| 13.07.2016, 14:55 | Dominik. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie kommst du auf und . In deinem Beispiel ist doch n=3
Ja, aber es kann ja trotzdem nicht schaden das Beispiel nachzuvollziehen. Du könntest etwa auch die Fälle n=2, n=3 und n=4 betrachten und dann gucken, ob du eine Vermutung für alle n aufstellen kannst. |
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| 13.07.2016, 15:07 | Dominik..... | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das habe ich schon versucht, aber erkenne einfach keine Struktur. Zumal ja auch nicht vorausgesetzt wird, dass man unbedingt die 1 auf die 2 schickt, die 2 auf die 3 usw... Man kann ja auch sagen, dass 1 auf 3 geht, 2 auf 5, 3 auf 1 oder so... Und da gib es ja unendlich viele Kombinationen, wo immer andere Fehlstände herauskommen... |
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