Determinante ergibt Null

13.07.2016, 17:43	pointloma	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante ergibt Null Meine Frage: Hallo liebes Forum, ich habe mich hier angemeldet, weil ich Hilfe bei meiner Vorbereitung für unsere Statistik-Klausur brauche. Die folgende Aufgabe ist aus einer Altklausur. Ist ein Vektor und eine Matrix gegeben, kenne ich den Lösungsweg. In diesem konkreten Beispiel sind jedoch nur zwei Vektoren gegeben. Bilde ich aus den beiden Vektoren eine Matrix, ergibt die Determinante = 0 und ich weiß nicht, wie ich weiterrechnen soll. Vielleicht kann mir jemand helfen! Das wäre super. Gegeben ist der Vektor $\begin{eqnarray} $\vec{y}$ \end{eqnarray}$ mit Realisationen der abhängigen Variablen Y und der Vektor $\begin{eqnarray} $\vec{x}$ \end{eqnarray}$ der Prädikatorenvariablen X. Erstellen Sie die vollständige Prädikatormatrix X und berechnen Sie die Koeffizienten des Regressionsmodells nach der Formel $\begin{eqnarray} $\vec{b}=(X^TX)^{-1}X^T\vec{y}$ \end{eqnarray}$ . Geben Sie die Regressionsgleichung an und stellen Sie den Zusammenhang von X und Y graphisch dar. $\begin{eqnarray} $\vec{y}=\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{x}=\begin{pmatrix}5\\-5\end{pmatrix}$ \end{eqnarray}$ Meine Ideen: 1. Matrix erstellen $\begin{eqnarray} $\vec{y} \cdot \vec{x}^T = \begin{vmatrix} -3 \cdot 5 & -3 \cdot (-5)\\ 3 \cdot 5 & 3 \cdot -5 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}-15 & 15\\15 & -15\end{vmatrix}$ \end{eqnarray}$ 2. Matrix Transponieren $\begin{eqnarray} $X^T=\begin{vmatrix}-15 & 15\\15 & -15\end{vmatrix}$ \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} $X^TX =\begin{vmatrix}-15 \cdot 15 & 15 \cdot -15 \\15 \cdot 15 & -15 \cdot 15\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}450 & -450\\-450 & 450\\\end{vmatrix}$ \end{eqnarray}$ 3. Invertieren $\begin{eqnarray} $det(X)=det\begin{vmatrix}x_{11} & x_{12}\\x_{21} & x_{22}\end{vmatrix} =x_{11} \cdot x_{22} - x_{12} \cdot x_{21}=450 \cdot 450 - (-450) \cdot (-450) = 0$ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $X^{-1}=\frac{1}{det(X)} \cdot \begin{vmatrix}x_{22} & -x_{12}\\-x_{21} & x_{11}\end{vmatrix}=\frac{1}{0} \quad ???$ \end{eqnarray}$ 4. $\begin{eqnarray} $(X^TX)^{-1}X^T=$ \end{eqnarray}$ 5. $\begin{eqnarray} $(X^TX)^{-1}X^T\vec{y}=$ \end{eqnarray}$ Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen, diesen gelöscht, damit Antwortzähler wieder auf Null steht. Steffen
13.07.2016, 18:52	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, lies noch mal nach, wie lineare Regression funktioniert. In der Matrix $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ hat die Realisation der abhängigen Variablen nichts verloren. In diesem Fall wäre stattdessen $\begin{eqnarray} X = \begin{pmatrix}1 & 5 \\ 1 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
13.07.2016, 19:37	pointloma	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort Lithiesque! Ich studiere leider (oder vielleicht zum Glück) kein Mathe und bin deshalb nicht ganz so versiert darin. Dein Hinweis macht Sinn, wie du auf die Matrix kommst, verstehe ich leider nicht. Ich werde versuchen es herauszufinden, aber vielleicht kannst du mir ja den entscheidenden Hinweis geben.
13.07.2016, 21:16	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Modell bei der einfachen linearen Regression ist folgendes: $\begin{eqnarray} y_i = b_0 + b_1\cdot x_i \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i=1,\dots,n \end{eqnarray}$ mit aus der Stichprobe zu bestimmenden $\begin{eqnarray} b_0, b_1 \end{eqnarray}$ . Mit $\begin{eqnarray} y = (y_i)_{i=1,...n}, b = (b_0, b_1)^\top, X = \begin{pmatrix}1 & x_1 \\ \vdots & \vdots \\ 1 & x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ schreibt sich dies in Matrixschreibweise kompakt wie folgt: $\begin{eqnarray} y = Xb \end{eqnarray}$ Eben diese Matrix $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ taucht in der Lösungsformel $\begin{eqnarray} b = \left(X^\top X\right)^{-1}X^\top y \end{eqnarray}$ auf. Die erste Spalte der Matrix besteht immer ausschließlich aus Einsen und "gehört" zum Achsenabschnitt $\begin{eqnarray} b_0 \end{eqnarray}$ , während die zweite Spalte der Matrix die Ausprägungen der unabhängigen Variablen enthält und zur Steigung $\begin{eqnarray} b_1 \end{eqnarray}$ "gehört".
13.07.2016, 22:11	pointloma	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke dir vielmals! Das taucht tatsächlich in unseren Vorlesungsfolien nirgends auf.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »