Kreissegment: Sehne aus Bogenlänge und Stichhöhe berechnen

14.07.2016, 00:54

lindenlauf

Kreissegment: Sehne aus Bogenlänge und Stichhöhe berechnen

Hallo,

ich suche eine Formel, mit der ich bei gegebener Bogenlänge und Stichhöhe die Länge der Sehne berechnen kann. Ich brauche die Formel am Ende in Excel.

Mit den Definitionen der von de.wikipedia.org/wiki/Kreissegment formuliert: Gegeben sind b und h, gesucht wird s.

Ich habe einen Online-Rechner gefunden, der das kann und auch Formeln benennt: arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kreissehnen - aber ich werde nicht schlau daraus: was heißt hier "Approximation von Alpha mit cos(alpha/2) + h/b·alpha = 1" [Formel von mir auf Wikipedia-Nomenklatur angepasst]? Kann man diese Formel nach alpha auflösen? Oder wie komme ich da weiter (so dass es in Excel berechenbar ist)?

Sorry für die Form der URLs! Trotz Anmeldung hatte ich offenbar nicht das Recht, "vernünftige" URLs zu posten. Per URL markieren -> Rechtsklick -> "zu ... wechseln" kommt man aber mit den meisten Browsern auch so ran.

Grüße aus Freiburg,
Martin

14.07.2016, 09:36

Steffen Bühler

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RE: Kreis: Sehne aus Bogenlänge und Stichhöhe berechnen?
Willkommen im Matheboard!

In der Tat lassen sich Gleichungen wie die hier genannte $\begin{align*} b \cdot cos \frac { \alpha}2 = \alpha \cdot h \end{align*}$ nicht nach $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ auflösen. Daher nimmt man ein Näherungsverfahren wie z.B. Newton. Das kannst Du aber recht einfach in Excel nachbilden.

Viele Grüße
Steffen

14.07.2016, 19:53

lindenlauf

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Ansatz für Iterationsverfahren?
Ok, - Danke für die Klärung (dass sich die Formel nicht nach alpha auflösen lässt), den Hinweis auf das Newton-Verfahren und nicht zuletzt für das Willkommen im Forum smile

!
Ich bin mathematisch nicht gebildet genug, um mit der Erklärung der Wikipedia einen Ansatz zu finden, wie ich das Näherungsverfahren zum Einsatz bringen kann. Würdest Du / würdet ihr mir bitte unter die Arme greifen?
Ich brauche eine Formel, mit der ich ein "Ergebnis" bekomme, das ich dann im zweiten Iterationsschritt wieder in die gleiche Formel "einfüttere" - richtig? Und sorry für die laienhafte Ausdrucksweise Ups

14.07.2016, 20:24

Steffen Bühler

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RE: Kreis: Sehne aus Bogenlänge und Stichhöhe berechnen?
Ja, das mit der Iteration hast Du richtig verstanden. Drei, vier Schritte sollen genügen, das siehst Du dann schon. Zur Not auch mehr, Excel ist geduldig.

Es geht ja um die Nullstellen der Funktion $\begin{align*} f(\alpha)=b \cdot \cos \frac { \alpha}2 -\alpha \cdot h \end{align*}$

Die Ableitung davon ist $\begin{align*} f'(\alpha)=-\frac b2 \cdot \sin \frac { \alpha}2 -h \end{align*}$

Und nun sagt Newton, dass Du einen Startwert in der Nähe der Lösung nehmen sollst, das ist dann $\begin{align*} \alpha_0 \end{align*}$ . Dann berechnest Du $\begin{align*} \alpha_1 \end{align*}$ nach der Formel

$\begin{align*} \alpha_1=\alpha_0-\frac {f(\alpha_0)}{f'(\alpha_0)}=\alpha_0-\frac {b \cdot \cos \frac { \alpha_0}2 -\alpha_0 \cdot h}{-\frac b2 \cdot \sin \frac { \alpha_0}2 -h} \end{align*}$

Entsprechend dann $\begin{align*} \alpha_2 \end{align*}$ , $\begin{align*} \alpha_3 \end{align*}$ und so weiter. So kommst Du immer näher an den gesuchten Winkel.

14.07.2016, 23:46

lindenlauf

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Fehlersuche; Problem gelöst!
Ok, soweit klar und nachvollziehbar. Die Approximation ist erstaunlich schnell, - schon ab $\begin{eqnarray*} \alpha_3 \end{eqnarray*}$ auf 6 Nachkommastellen konstant Freude

Ein Fehler war aber noch drin:

Arndt Brünner gibt an:

code:
1:	Approximation von alpha mit cos(alpha/2) + h/b·alpha = 1 [a durch h ersetzt]

also, wenn ich das richtig lese: $\begin{eqnarray*} \cos(\frac{\alpha}{2}) + \frac{h}{b} \cdot \alpha = 1 \end{eqnarray*}$

das ergibt $\begin{eqnarray*} 0 = b - b \cdot cos(\frac{\alpha}{2}) - h\cdot \alpha \end{eqnarray*}$ . ... da hatte Steffen ein $\begin{eqnarray*} b - \end{eqnarray*}$ unterschlagen, oder? Augenzwinkern

Die Ableitung wäre dann $\begin{eqnarray*} \frac{b\cdot sin(\frac{\alpha}{2})}{2} -h \end{eqnarray*}$ (Quelle: ableitungsrechner.net. Magic smile

)

und die Iterationsformel $\begin{eqnarray*} \alpha_1=\alpha_0 - \frac{ b - b \cdot cos(\frac{\alpha_0}{2}) - h\cdot \alpha_0} {\frac{b\cdot sin(\frac{\alpha_0}{2})}{2} -h} \end{eqnarray*}$

Damit 4 mal iteriert, dann weiter mit

$\begin{eqnarray*} r=\frac{h}{1-cos(\frac{\alpha}{2})} \end{eqnarray*}$

und schließlich

$\begin{eqnarray*} s = 2\cdot \sqrt{ 2\cdot h\cdot r - h^{2} } \end{eqnarray*}$

Wer (wie ich) erst glaubt, wenn er ein Beispiel sieht: Ich hab' mir einen Einheitskreis mit einer Sehne zu einem Mittelpunktswinkel von 45° gezeichnet; es ergeben sich sowohl zeichnerisch als auch nach der Berechnung auf Arndt Brünners Seite, als auch mit o.g. Formeln (judihui):
r = 1
$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = 45°
s = 0,765
h = 0,076 - Achtung, "h" heißt bei Arndt Brünner "a" !
b = 0,785

Das hätte ich niemald herausbekommen ohne die inhaltliche und nicht zuletzt auch die moralische Unterstützung hier im Forum - ich hätte (a) nicht gewußt und (b) zu früh aufgegeben, wenn ich damit allein gestanden hätte. Ein herzlicher Dank an's Forum im Allgemeinen und an Steffen Bühler im Besonderen! Gut dass es Foren gibt, und Menschen, die sie hilfreich bevölkern.

Übrigens: Das war ein Beispiel aus dem Leben - ab morgen wird diese Formel ein real existierendes Problem handwerklicher Fertigung lösen smile

Viele Grüße
Martin Lindenlauf

15.07.2016, 09:43

Steffen Bühler

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RE: Fehlersuche; Problem gelöst!

Zitat:

Original von lindenlauf
Arndt Brünner gibt an:

code:
1:	Approximation von alpha mit cos(alpha/2) + h/b·alpha = 1 [a durch h ersetzt]

Ah, jetzt verstehe ich. Ich hab nämlich b=1 und h=1 eingegeben, dann kommt

Zitat:

Approximation von alpha mit
b·cos(alpha/2) = alpha·h

Ich hatte mich etwas gewundert, bin aber nicht weiter drauf eingegangen, weil ich dachte, Du hättest Dich bei der 1 einfach vertippt.

Aber es freut mich, dass es trotzdem geklappt hat.

Viele Grüße
Steffen

15.07.2016, 22:41

lindenlauf

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RE: Fehlersuche; Problem gelöst!

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Ah, jetzt verstehe ich. Ich hab nämlich b=1 und h=1 eingegeben, dann kommt

Zitat:

Approximation von alpha mit
b·cos(alpha/2) = alpha·h

Oh shit, da habe ich von vorne herein eine Fehlerquelle eingebaut, indem ich zwei verschiedene Nomenklaturen ins Rennen geschickt habe. Mein Hinweis darauf war wohl etwas zu schüchtern, in seinen eckigen Klammern... Sorry dafür, und auch für die Unterstellung einer Unterschlagung Augenzwinkern

Und ja, freut mich auch smile

16.07.2016, 00:37

mYthos

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Noch eine Anmerkung zu Excel:
Excel hat ein mächtiges Werkzeug an Bord, es ist die Zielwertsuche bzw. der SOLVER.
Dieser erspart die Iteration mittels Newton, denn die Iteration ist bereits als Bestandteil darin integriert.
Somit werden die entsprechenden Formeln in das Sheet eingegeben, Zielzelle und veränderbare Zelle bestimmt und fertig ist's!

In der Grafik: Gegeben sind b = 10, h = 2,5; Ausgabe alpha (mittels Zielwertsuche), r, s

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mY+

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