Funktionsfolgen stetig --> Grenzfolge stetig?

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Integraluss Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsfolgen stetig --> Grenzfolge stetig?
Guten Morgen,

wenn eine Funktionsfolge stetig ist, dann muss doch die Grenzfolge logischerweise auch stetig sein oder? (siehe Bild für die Aufgabe bitte)

Also wenn alle Funktionsglieder der Funktionsfolge im Intervall stetig sind und die Funktionsfolge gegen konvergiert, dann muss die Grenzfolge auch stetig sein.

Laut einem Satz gilt, wenn die Funktionsfolge gleichmäßig gegen konvergiert, dann konvergiert die Funktionsfolge auch punktweise gegen , also: .

Und da dieses die "unendlichste" Funktionsfolgeglied von ist, muss laut Angabe auch die Grenzfolge im gegebenen Intervall stetig sein.

Reicht das so? Ist das wirklich so einfach?

Gruß
Integraluss
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktionsfolgen stetig --> Grenzfolge stetig?
Zitat:
Original von Integraluss
wenn eine Funktionsfolge stetig ist, dann muss doch die Grenzfolge logischerweise auch stetig sein oder? (siehe Bild für die Aufgabe bitte)

Also wenn alle Funktionsglieder der Funktionsfolge im Intervall stetig sind und die Funktionsfolge gegen konvergiert, dann muss die Grenzfolge auch stetig sein.

Was hat jetzt das Bild mit dieser (falschen) Aussage zu tun? Ein leichtes Gegenbeispiel ist die Funktionenfolge auf dem Intervall [0 ; 1] .

Zitat:
Original von Integraluss
Laut einem Satz gilt, wenn die Funktionsfolge gleichmäßig gegen konvergiert, dann konvergiert die Funktionsfolge auch punktweise gegen , also: .

In diesem Fall (also gleichmäßige Konvergenz) ist auch die Grenzfunktion f stetig, wenn die Funktionen f_n stetig sind. smile
Integraluss Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, danke. Falsches Bild. Sorry.^^

D.h., wenn die Funktionsfolge stetig ist und diese konvergiert punktweise gegen f, dann muss f nicht unbedingt stetig sein, richtig? Wenn nämlich f unstetig an einem Punkt ist, dann kann die Funktionsfolge auch keine gleichmäßige konvergenz haben, richtig?

Und wenn die Funktionsfolge schon gleichmäßig gegen f konvergiert, dann muss f auch stetig sein.

Stimmt das so?

Edit: und warum gilt das nur fur gleichmäßige Konvergenz?
Also die funktionsfolge x^n konvergiert punktweise gegen 0 für x<1. Und gegen 1 für x=0.

Und dann gilt: sup(||fn-f||)=1-0=1

Und nicht gegen Null, also ist die Gleichmässige konvergenz nicht gegeben. Was hat das aber mit Stetigkeit zu tun?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Integraluss
D.h., wenn die Funktionsfolge stetig ist und diese konvergiert punktweise gegen f, dann muss f nicht unbedingt stetig sein, richtig?

Ja.

Zitat:
Original von Integraluss
Wenn nämlich f unstetig an einem Punkt ist, dann kann die Funktionsfolge auch keine gleichmäßige konvergenz haben, richtig?

Ja, sofern die Funktionen f_n stetig sind. Eine Folge unstetiger Funktionen kann sehr wohl gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergieren. Die Funktion f kann sogar stetig sein, muß aber nicht.

Zitat:
Original von Integraluss
Und wenn die Funktionsfolge schon gleichmäßig gegen f konvergiert, dann muss f auch stetig sein.

Stimmt das so?

Ja, sofern die Funktionen f_n stetig sind. (Das ist der Inhalt der Aufgabe 6.)

Zitat:
Original von Integraluss
Edit: und warum gilt das nur fur gleichmäßige Konvergenz?
Also die funktionsfolge x^n konvergiert punktweise gegen 0 für x<1. Und gegen 1 für x=0.

Weil es eben für punktweise Konvergenz nicht gilt.

Zitat:
Original von Integraluss
Und dann gilt: sup(||fn-f||)=1-0=1

Eher:

Zitat:
Original von Integraluss
Was hat das aber mit Stetigkeit zu tun?

Verstehe jetzt die Frage nicht. Der Zusammenhang zwischen Stetigkeit der Grenzfunktion und gleichmäßiger Konvergenz wurde oben in allen Varianten besprochen.
Integraluss Auf diesen Beitrag antworten »

OK, ich denke, ich habs verstanden, wo was gilt.

Jedoch, wie beweist man das richtig?

Indem ich als Gegenbeispiel x^n hernehme und damit erstmal zeige, dass die grenzfunktion f unstetig bei stetigen fn ist, wenn gleichmässige konvergenz nicht vorhanden ist.

Umkehrschluss aus obiger theorie: wenn gleichmässige konvergenz vorhanden ist, dann ist f stetig bei stetigen fn.

Stimmt der "Beweis" so?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Integraluss
Umkehrschluss aus obiger theorie: wenn gleichmässige konvergenz vorhanden ist, dann ist f stetig bei stetigen fn.

Welche Theorie? Daß es ein Beispiel gibt, wo f nicht stetig ist bei nicht gleichmäßiger Konvergenz, beweist ja nicht, daß f stetig ist, wenn gleichmäßige Konvergenz vorliegt.

Für die Stetigkeit von f würde ich eine Stelle x_0 beliebig, aber fest wählen, und dann zeigen, daß die Funktion f an der Stelle x_0 die Epsilon-delta-Definition der Stetigkeit erfüllt.
 
 
Integraluss Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, die Definition für Stetigkeit einer Funktion lautet ja folgendermaßen:



Und die Definition für die gleichmäßige Konvergenz so:


Also muss ich obigen zwei Definition zusammenführen und daraus die Stetigkeit schließen?

Wenn ich also ein fest wähle, muss ich es dann auch in obiges sup() einsetzen?

Das komische hier ist jetzt, dass ich nicht weiß wie f aussieht und somit ist es ja viel schwieriger Stetigkeit zu beweisen, als jetzt bei einem konkreten gegebenen f. Würde mich freuen, wenn du mir da noch ein bisschen mehr helfen könntest.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Integraluss
Und die Definition für die gleichmäßige Konvergenz so:


Da hast du was vermengt. So ist es richtig:


Sei nun epsilon > 0 gegeben. Dann gibt es ein n_0, so daß für alle n >= n_0 ist.

Sein nun n >= n_0 beliebig gewählt. Wegen der Stetigkeit von f_n gibt es nun ein Delta > 0, so daß ist, wenn ist.

Betrachte nun den Ausdruck und zeige mit einer geeigneten Abschätzung, daß dieser kleiner als epsilon ist. smile

EDIT: korrigiert zu .
Integraluss Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke. Ich verstehe es besser.

hast du einfach als Wert für Episolon gewählt richtig? Da kann aber auch theoretisch Epsilon Sechzehntel oder so nehmen, oder?

f_n(x) - f_n(x_0)

Hm, also das rot-gekennzeichnete ist auf jedenfall kleiner wie .

Aber ich weiß ja nicht wie groß die anderen Terme unter dem Betragsstrich sind, außer das halt der andere Term "" auch kleiner wie ist.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Mein voriger Beitrag hat doch alles vorbereitet. Erst mal ist:



Jetzt schauen wir uns mal die einzelnen Teile an:

wegen

wegen der Stetigkeit von f_n

wegen

Also folgt . Augenzwinkern

Zitat:
Original von Integraluss
hast du einfach als Wert für Episolon gewählt richtig? Da kann aber auch theoretisch Epsilon Sechzehntel oder so nehmen, oder?

Von mir aus. smile

Übrigens ist das Wort "kleiner" ein Adjektiv in der Komparativform. Und beim Komparativ kommt nach dem Adjektiv das Wörtchen "als", nicht "wie." Big Laugh
Integraluss Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe, danke. Big Laugh

Ganz am Anfang habe ich ja eine falsche Aufgabe gepostet, lass uns die bitte auch diskutieren, würde mich freuen, um somit einen besseren Umgang mit Funktionsfolgen zu haben.

Ich muss also die Integralform irgendwie umschreiben, sodass ich die gleichmäßige Konvergenz einbringen kann, denn aus dieser folgt ja die punktweise Konvergenz, die ich ja zeigen muss.

Also:
, wenn man Beträge integriert bekommt man ein größeres Ergebnis als umgekehrt.

Dann wissen wir, dass also muss das auch für das Integral gelten:

Außerdem ist , da gleichmäßig gegen konvergiert. Es folgt, dass das Integral über den Abstand nur das Supremum mit dem Faktor multipliziert wird, somit konvergiert die Funktionsfolge auf jedenfall gleichmäßig gegen und es muss auch die punktweise Konvergenz gelten, was zu zeigen war.

- Stimmts?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, an dieser Stelle:

Zitat:
Original von Integraluss
Außerdem ist , da gleichmäßig gegen konvergiert. Es folgt, dass das Integral über den Abstand nur das Supremum mit dem Faktor multipliziert wird, somit konvergiert die Funktionsfolge auf jedenfall gleichmäßig gegen und es muss auch die punktweise Konvergenz gelten, was zu zeigen war.

würde ich anders argumentieren. Doch zunächst sind da ein paar Mißverständnisse:

1. Es ist nicht , sondern

2. Dann ist keine Funktionenfolge, sondern eine Folge von reellen Zahlen.

Jetzt zum Beweis:
Wegen konvergiert also die rechte Seite der Ungleichung



gegen Null. Folglich konvergiert auch die linke Seite gegen Null, woraus dann die Behauptung folgt. smile
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