Differentialgleichungen Gasaustausch Behälter

14.07.2016, 12:47	Huffington_Lesh	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichungen Gasaustausch Behälter Meine Frage: Hallo, ich habe momentan ein Problem mit dem Aufstellen von Differentialgleichungen und dem dazugehörigen berechnen der Konstanten. Bei meinem Problem habe ich einen Behälter mit dem Volumen 20m^3. Zu Beginn ist der Behälter komplett mit Umgebungsluft (zur Vereinfachung 79%N2 und 21%O2) gefüllt. An diesem Behälter sind 2 Öffnungen, in die eine Öffnung wird ein Gas mit der Zusammensetzung(90%N2 10%H2) in den Behälter geführt. An der anderen Öffnung wird soviel Volumen verdrängt, wie an der anderen Öffnung zugeführt wird. Die Aufgabe wäre hierbei jetzt das aufstellen von 3 Differentialgleichungen, welche die Vol% der Stoffe H2 O2 und N2 im System in Abhängigkeit von t angeben. im weiteren werde ich die Vol% der einzelnen Stoffe $\begin{eqnarray} x_{H2}(t),x_{N2}(t), x_{O2}(t) \end{eqnarray}$ nennen. Die gegebenen Parameter und Startwerde sind: Volumenstrom Q=0,306m3/s Volumen Behälter=20m3 Startwerte $\begin{eqnarray} x_{H2}(0)=0,x_{N2}(0)=0,79, x_{O2}(0)=0,21 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mein Grundlegender Ansatz war jetzt davon auszugehen, dass soviel Volumen wie zugeführt wird, muss auch verdrängt werden. Von diesem Ansatz aus habe ich angenommen, dass meine Stoffkonzentration im Behälter über 3 verschiedene DGL's beschrieben werden kann. Die Gleichung für die Sauerstoffkonzentration habe ich beschrieben durch: $\begin{eqnarray} Vx_{02}(t+dt)=Vx_{02}(t)-x_{02}(t)Qdt \end{eqnarray}$ Also das Volumen im Zeitpunkt 2 ergibt sich aus dem Volumen in Zeitpunkt 1 minus dem Sauerstoffanteil des ausgehenden Volumenstroms dt Die beiden Gleichungen die mir Probleme machen sind die für H2 und N2. Dort bin ich davon ausgegangen dass die Bilanz folgendermaßen aussieht. $\begin{eqnarray} Vx_{H2}(t+dt)=Vx_{H2}(t)+0,1Qdt-x_{H2}(t)Qdt \end{eqnarray}$ Also analog zur ersten Gleichung Volumen zu t+dt = Volumen t minus abgehender Volumenstrom jedoch kommt 10% bzw 0,1 des eingehenden Volumenstroms pro t konstant dazu. Die Gleichung für N2 sieht fast genauso aus nur dass anstatt 10% bzw. 0,1 90% des eingehenden Volumenstroms zugeführt werden. $\begin{eqnarray} Vx_{N2}(t+dt)=Vx_{N2}(t)+0,9Qdt-x_{N2}(t)Qdt \end{eqnarray*}$ Das umstellen dieser Gleichungen habe ich so durchgeführt wie in dem Thread http://www.matheboard.de/archive/36883/thread.html . Allerdings komme ich bei dem Lösen der DGLs zu dem Problem, dass die Konzentrationen im Startbereich zwischen t=0 und t=100s in Summe größer als 1 werden, was ja nicht möglich ist. Deswegen wollte ich einmal hier nachfragen ob mein Ansatz so falsch gewählt ist, oder ich beim Lösen der DGL's Fehler gemacht habe. Falls gewünscht würde ich mein Vorgehen bei der Lösung der DGL's hochladen. Vielen Dank im Voraus.
15.07.2016, 10:00	Huffington_Lesh	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht könntet ihr mir einmal dabei helfen an dem Beispiel einer Gleichung ob ich sie so richtig aufgestellt habe und falls nicht wo ich vielleicht den Fehler habe. Für das Beispiel H2 sind die Randbedingungen, dass zum Zeitpunkt t=0 eine Konzentration von 0% im Behälter ist. Also $\begin{eqnarray} x_{H2}(0)=0 \end{eqnarray}$ , des Weiteren müsste ja für t gegen unendlich gelten, dass sich in meinem System 90%N2 und 10%H2 befinden, da ich ja dieses Gemisch einfülle welches den Rest der Luft verdrängt. Also $\begin{eqnarray} x_{H2}(\infty)=0,1 \end{eqnarray}$ . Für die Gleichung ergibt sich: $\begin{eqnarray} Vx_{H2}(t+dt)=Vx_{H2}(t)+0,1Qdt-x_{H2}(t)Qdt \end{eqnarray}$ Teilen durch das Volumen liefert: $\begin{eqnarray} x_{H2}(t+dt)=x_{H2}(t)+0,1\frac{Q}{V}dt-x_{H2}(t)\frac{Q}{V}dt \end{eqnarray}$ Differentialquotienten bilden. $\begin{eqnarray} \frac{x_{H2}(t+dt)-x_{H2}(t)}{dt}=0,1\frac{Q}{V}-x_{H2}(t)\frac{Q}{V} \end{eqnarray}$ Für dt gegen 0 gilt dann: $\begin{eqnarray} x'_{H2}(t)+x_{H2}(t)\frac{Q}{V}=0,1\frac{Q}{V} \end{eqnarray}$ Die Gesamtlösung der DGL ergibt sich aus homogener und partikulärer Lösung. Für die homogene wird die Rechte Seite =0 gesetzt also: $\begin{eqnarray} x'_{H2}(t)+x_{H2}(t)\frac{Q}{V}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x'_{H2}(t)=-x_{H2}(t)\frac{Q}{V} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{x'_{H2}(t)}{x_{H2}(t)}=-\frac{Q}{V}dt \end{eqnarray}$ Integrieren liefert $\begin{eqnarray} ln(x_{H2}(t))=-\frac{Q}{V}t+ln(c) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ln(x_{H2}(t))-ln(c)=-\frac{Q}{V}t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{ln(x_{H2}(t))}{ln(c)}=-\frac{Q}{V}t \end{eqnarray}$ mit e multiplizieren $\begin{eqnarray} \frac{(x_{H2}(t)}{(c)}=e^{-\frac{Qt}{V} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{H2}(t)=ce^{-\frac{Qt}{V}} \end{eqnarray}$ Für die Partikuläre Lösung habe ich den Ansatz yp=A gewählt da der Wert Q/V konstant ist. Das heisst yp'=0 woraus folgt. $\begin{eqnarray} \frac{Q}{V}A=0,1\frac{Q}{V} \end{eqnarray}$ Woraus sich A=0,1 ergibt. Das heisst meine Lösung der DGL wäre $\begin{eqnarray} x_{H2}(t)=ce^{-\frac{Qt}{V}}+0,1 \end{eqnarray}$ Das Problem dass ich nun habe ist, dass sich mit meinem Startwert von x(0)=0, sich der Faktor c zu 0 ergibt wodurch die Startkonzentration 0,1 wird und nicht von 0 bis 0,1 steigt. Ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen, weil ich mittlerweile nicht mehr weiss wo ich eventuell Fehler gemacht habe
18.07.2016, 09:38	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bezeichnungen: $\begin{eqnarray} c_N \end{eqnarray}$ =Konzentration des Stickstoffes (zeitabhängig) $\begin{eqnarray} c_O \end{eqnarray}$ =Konzentration des Sauerstoffes (zeitabhängig) $\begin{eqnarray} c_H \end{eqnarray}$ =Konzentration des Wasserstoffes (zeitabhängig) $\begin{eqnarray} \tilde c_N \end{eqnarray}$ =0,79 = Konzentration des Stickstoffes zu Beginn $\begin{eqnarray} \tilde c_O \end{eqnarray}$ =0,21 = Konzentration des Sauerstoffes zu Beginn $\begin{eqnarray} \tilde c_H \end{eqnarray}$ =0 = Konzentration des Wasserstoffes zu Beginn $\begin{eqnarray} \overline c_N \end{eqnarray}$ =0,9 = Konzentration des Stickstoffes im Input-Rohr (konstant) $\begin{eqnarray} \overline c_H \end{eqnarray}$ =0,1 = Konzentration des Wasserstoffes im Input-Rohr (konstant) $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ =20m³ = Volumen des Behälters $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ =0,306m³/s = Volumenstrom im Input-Rohr ---------------------------------------------------------------------- Die (nicht gekoppelten) Differenzialgleichungen für die Konzentrationen der 3 Gase im Behälter lauten $\begin{eqnarray} \dot c_N+\tfrac{Q}{V}\cdot c_N=\overline c_N\cdot \tfrac{Q}{V} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \dot c_O+\tfrac{Q}{V}\cdot c_O=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \dot c_H+\tfrac{Q}{V}\cdot c_H=\overline c_H\cdot \tfrac{Q}{V} \end{eqnarray}$ Die Anfangsbedingungen lauten (Siehe oben) $\begin{eqnarray} c_N(0)=\tilde c_N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_O(0)=\tilde c_O \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_H(0)=\tilde c_H \end{eqnarray}$ Die Lösung ergibt folgenden zeitlichen Verlauf der Konzentrationen $\begin{eqnarray} c_N(t)=(\tilde c_N-\overline c_N)\cdot \exp \left ( -\tfrac {Q}{V}\cdot t \right )+\overline c_N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_O(t)=\tilde c_O\cdot \exp \left ( -\tfrac {Q}{V}\cdot t \right ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_H(t)=\overline c_H \cdot \left [1- \exp \left ( -\tfrac {Q}{V}\cdot t \right ) \right ] \end{eqnarray}$ Erwartungsgemäß befinden sich nach unendlich langer Zeit folgende Gaskonzentrationen im Behälter $\begin{eqnarray} c_N(\infty)=\overline c_N=0,9 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_O(\infty)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_H(\infty)=\overline c_H=0,1 \end{eqnarray}$
18.07.2016, 11:34	Huffington_Lesh	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Ehos, vielen Dank erstmal für die Antwort, du hast mir damit sehr geholfen. Habe soweit jetzt auch meine Fehler gefunden. Das einzige was ich noch nicht ganz verstehe ist, wie du für die Konzentration des Stickstoffs auf den Vorfaktor der E-Funktion kommst. Es macht natürlich Sinn, aber ich komme rechnerisch nicht auf diesen Wert. Ergeben sich die Vorfaktoren einfach aus der Bilanz der Zuflüsse? MfG Lesh
18.07.2016, 12:34	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du fragst, wie ich auf den Vorfaktor vor der e-Funktion komme. Für die Stickstoffkonzentration ist folgende Differnzialgleichung zu lösen (Siehe oben): $\begin{eqnarray} \dot c_N+\tfrac{Q}{V}\cdot c_N=\tfrac{Q}{V}\cdot \overline c_N \end{eqnarray}$ Die allgemeine Lösung ist bekanntlich die Summe aus der homogenen Lösung und der partikulären Lösung. Letztere ist eine Konstante $\begin{eqnarray} \overline c_N \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} c_N(t)=\underbrace{K\cdot \exp \left (-\tfrac{Q}{V}\cdot t \right )}_{\text{homogen Lösung}}+\underbrace{\overline c_N}_{\text{partikuläre Lösung}} \end{eqnarray}$ Der freie Parameter K ergibt sich aus der Anfangsbedingung $\begin{eqnarray} c_N(0)=\tilde c_N \end{eqnarray}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray} K=\tilde c_N-\overline c_N \end{eqnarray}$ Einsetzen von K in die obige allgemeine Lösung liefert die gesuchte Stickstoffkonzentartion $\begin{eqnarray} c_N(t)=\underbrace{(\tilde c_N-\overline c_N)\cdot \exp \left (-\tfrac{Q}{V}\cdot t \right )}_{\text{homogen Lösung}}+\underbrace{\overline c_N}_{\text{partikuläre Lösung}} \end{eqnarray}$
18.07.2016, 13:11	Huffington_Lesh	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur um sicher zu gehen, dass ich es verstanden habe. Ich berechne also meinen Faktor für die e-Funktion aus der Anfangsbedingung, welche ich in y = y_homogen + y_partikulär einsetze? Ich dachte nämlich immer, dass ich den Faktor nur aus der homogenen Lösung bestimme und die partikuläre Lösung danach berechnet wird.
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18.07.2016, 13:38	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Den unbekannten Faktor K bestimmt man nicht aus der homogenen Lösung, sondern aus der allgemeinen Lösung, welche lautet $\begin{eqnarray} c_N(t)=\underbrace{K\cdot \exp \left (-\tfrac{Q}{V}\cdot t \right )}_{\text{homogen Lösung}}+\underbrace{\overline c_N}_{\text{partikuläre Lösung}} \end{eqnarray}$ Zur Zeit t=0 soll diese allgemeine Lösung den Wert $\begin{eqnarray} \tilde c_N \end{eqnarray}$ ergeben, also $\begin{eqnarray} \underbrace{c_N(0)}_{\tilde c_N}=K\cdot \underbrace{\exp \left (-\tfrac{Q}{V}\cdot 0 \right )}_{=1}+\overline c_N \end{eqnarray}$ Daraus folgt $\begin{eqnarray} K=\tilde c_N-\overline c_N \end{eqnarray}$ . Einsetzen in die obige allgemeine Lösung liefert $\begin{eqnarray} c_N(t)=\underbrace{(\tilde c_N-\overline c_N)\cdot \exp \left (-\tfrac{Q}{V}\cdot t \right )}_{\text{homogen Lösung}}+\underbrace{\overline c_N}_{\text{partikuläre Lösung}} \end{eqnarray}$
18.07.2016, 13:55	Huffington_Lesh	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok dann hab ichs jetzt verstanden, habe alles nochmal selber nachgerechnet und komme nun auf das selbe. Vielen Dank für die Hilfe .

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