Diskrete Fouriertransformation in Polarkoordinaten

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gummiwipfel Auf diesen Beitrag antworten »
Diskrete Fouriertransformation in Polarkoordinaten
Hallo zusammen,
ich bin derzeit auf der Suche nach der Formel für die diskrete Fourier-Transformation in Polarkoordinaten. Kurz zum Hintergrund dafür:
Ich habe eine Funktion , in diskreten Polarkoordinaten gegeben, also sie ist wie in folgender Skizze angedeutet nur auf den Schnittpunkten konzentrischer Kreise um den Ursprung mit radialen Strahlen definiert:

[attach]42280[/attach]

Bild aus externem Link als Anhang eingefügt. Bitte keine externen Links verwenden. Steffen

Ich versuche nun, die Fouriertransformation der Funktion direkt auszuwerten, statt beispielsweise zunächst auf kartesische Koordinaten zu interpolieren und dann die FFT anzuwenden.
Die koordinatentransformation einer kontinuerlichen Fouriertransformation von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten stellt soweit keine Probleme eigentlich dar:

In kartesischen Koordinaten:


Mit und bekommen wir


Wenn wir auch noch die Koordinaten u und v transformieren mit und ergibt sich die Klammer im Exponenten zu und wir erhalten schließlich


Da die Funktion für die ich die Fouriertransformation auswerten will nur an diskreten Orten einen Wert ungleich Null hat, müsste ich nun eine ähnliche Koordinatentransformation mit der diskreten Fouriertransformation durchführen. In kartesischen Koordinaten lautet sie


Leider ist mein Wissen um diskrete Funktionen recht begrenzt und somit stellen die Koordinatentransformationen mein erstes Problem dar. Meine beste Vermutung für obige Funktion (also auch mit Grad statt Bogenmaß):


Meine konkreten Fragen hierzu nun:
1. Wie funktioniert die Koordinatentransformation für die diskrete Fouriertransformation wirklich, bzw. in wieweit stimmt obige Vermutung?
2. Bei meinen Recherchen habe ich immer wieder die Behauptung gefunden, dass die diskrete Fouriertransformation in Polarkoordinaten nicht direkt umkehrbar wäre, leider fehlt dabei immer eine Begründung. Weiß hier jemand mehr dazu?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diskrete Fouriertransformation in Polarkoordinaten
Ich mach mal ein einfaches Beispiel mit 4 zu transformierenden komplexen Werten

Das ergibt dann vier komplexe Fourierkoeffizienten

Die Formel für fn lautet dann



Wie bei jeder DFT ist das Spektrum gespiegelt, also und .

Setzen wir mal









Dann ergibt sich



und



Entsprechend sollte das dann mit Deiner komplexen Zahlenreihe funktionieren.

Beantwortet das Deine Frage? Oder geht es Dir um etwas anderes?

Viele Grüße
Steffen
gummiwipfel Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Steffen,
vielen Dank schon mal für deine Antwort.

Mir geht es aber bei meiner Frage (bzw. bei beiden Fragen) vielmehr darum, die richtige Darstellung der diskreten FT in Polarkoordinaten zu finden.
Oder anders gefragt: wie führe ich bei der diskreten FT (vorletzte Gleichung) eine Koordinatentransformation in ein anderes Koordinatensystem durch, ähnlich wie ich es in den ersten drei Gleichungen mit der kontinuierlichen FT von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten gemacht habe?
Leider sind für mich diskrete Funktionen ein komplettes Neuland :/
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch laut Deiner Skizze nach wie vor M*N verschiedene komplexe Zahlen mit den Radien und den Winkeln . In Deiner Skizze ist z.B. M=2 und N=12.

Das heißt, Deine polare Summenformel unterscheidet sich gar nicht so wesentlich von der kartesischen:



So erhältst Du genau wie im kartesischen Fall M*N F-Werte.

EDIT Indizes i,j durch j,k ersetzt (besser bei komplexen Zahlen...)
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