Gegenbeispiel zu Lipschitz-Stetigkeit

14.07.2016, 17:53	Alireza	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegenbeispiel zu Lipschitz-Stetigkeit Meine Frage: Jede stetige Abbildung $\begin{eqnarray} f: K \to \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ ist Lipschitz-stetig, wenn $\begin{eqnarray} K\subseteq R^{n} \end{eqnarray}$ kompakt ist. Beweis/Gegenbeispiel? Meine Ideen: Ich denke das ist falsch, mit Gegenbeispiel $\begin{eqnarray} f: [0,1] \to \mathbb R \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x \to \sqrt{x} \end{eqnarray}$ . Wie zeige ich nun formal, dass f nicht Lipschitz stetig ist? Ich würde mit Widerspruch versuchen: Wäre f Lipschitz-stetig, so gäbe es L > 0 mit $\begin{eqnarray} \| f(x)-f(y) \| \leq L \| x-y \| \ \forall x,y\in [0,1] \end{eqnarray}$ Hier hänge ich: Wie führe ich das auf einen Widerspruch zurück?
14.07.2016, 18:16	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gegenbeispiel zu Lipschitz-Stetigkeit Das einfachste wäre $\begin{eqnarray} y = 0 \end{eqnarray}$ zu setzen und dann etwas umzuformen.
14.07.2016, 18:46	Alireza	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gegenbeispiel zu Lipschitz-Stetigkeit Setze also y=0 und bekomme $\begin{eqnarray} \sqrt{x} \leq L x \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} L \geq \frac {1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ (für x=0 ist die Gleichheit ja da). Kann ich jetzt einfach sagen, wenn ich x gegen 0 gehen lasse, kann es so ein L nicht geben?
14.07.2016, 18:48	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gegenbeispiel zu Lipschitz-Stetigkeit So könnte man argumentieren. Man kann sogar ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ angeben, was die Ungleichung in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ verletzt ( mehr oder weniger nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ umstellen).
14.07.2016, 18:56	Alireza	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gegenbeispiel zu Lipschitz-Stetigkeit Ah, also für x >= 1/L^2 wäre die Ungleichung verletzt.
14.07.2016, 19:14	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gegenbeispiel zu Lipschitz-Stetigkeit Genau für diese nicht
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15.07.2016, 08:08	Alireza	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gegenbeispiel zu Lipschitz-Stetigkeit Ich meine natürlich erfüllt Verletzt also für x < 1/L^2.
15.07.2016, 08:44	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau . Man kann sich mit x=1/(2L^2) sogar ein Element explizit aussuchen.
15.07.2016, 10:34	Alireza	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, IfindU, für deine Hilfe!

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