Beweis der Eindeutigkeit der Quadratwurzel einer positiv definiten symmetrischen Matrix

14.07.2016, 17:53	Tatsumi-Yoshinuoo	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Eindeutigkeit der Quadratwurzel einer positiv definiten symmetrischen Matrix Meine Frage: Hallo, ich versuche einen Beweis für die Eindeutigkeit der Quadratwurzel einer positiv definiten symmetrischen Matrix zu finden. Ich hab schon ne Weile im Internet gesucht, habe aber nur Ansätze gefunden die ich nicht nachvollziehen konnte und steh einfach ziemlich auf dem Schlauch. Wäre super wenn ihr mir helfen könntet. LG Meine Ideen: Ich weiß, dass A*A=B und A=AT (AT soll A transponiert sein, hab dazu nichts im Formeleditor gesehen) und dass sowohl A als auch B (n x n)-Matrizen sind.
18.07.2016, 09:54	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die "Wuzelmatrix" einer symmetrischen Matrix B ist nicht eindeutig. Es gibt nämlich unendlich viele Matrizen A für die gilt $\begin{eqnarray} AA^T=B \end{eqnarray}$ Hat man eine Wurzelmatrix A gefunden, dann ist jede Matrix AD ebenfalls eine Wuzelmatrix, sofern D eine Drehmatrix ist (also $\begin{eqnarray} DD^T=E \end{eqnarray}$ ). Es gilt nämlich $\begin{eqnarray} (AD)(AD)^T=A\underbrace{DD^T}_EA^T=AA^T=B \end{eqnarray}$

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