Topologischer Nachweis der gleichmäßigen Stetigkeit einer Metrik

14.07.2016, 20:33	professorfindus	Auf diesen Beitrag antworten »
Topologischer Nachweis der gleichmäßigen Stetigkeit einer Metrik Schönen Abend euch, die Aufgabe, die mir gerade zu schaffen macht lautet wie folgt: " Definition: Eine Funktion $\begin{eqnarray} f: (X,d_X) \to (Y,d_Y) \end{eqnarray}$ von metrischen Räumen heißt gleichmäßig stetig, falls für jedes $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \delta > 0 \end{eqnarray}$ existiert, so dass für alle $\begin{eqnarray} u, v \in X \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} d_X(u,v) < \delta \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} d_Y(f(u), f(v)) < \epsilon \end{eqnarray}$ . Hinweis: in der folgenden Aufgabe sollen Sie rein topologische Argumente auf metrische Räume anwenden. Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} (X,d) \end{eqnarray}$ ein metrischer Raum. Man zeige, dass die Metrik $\begin{eqnarray} d: X \times X \to [0, \infty) \end{eqnarray}$ gleichmäßig stetig ist. (Dabei $\begin{eqnarray} d: X \times X \to [0,\infty) \end{eqnarray}$ mit der induzierten Betragsmetrik von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ .) " Meine Gedanken: Das Kreuzprodukt alleine ist ja kein metrischer Raum, oder? Muss ich eine Metrik auf diesem Kreuzprodukt definieren, sodass es zu einem metrischen Raum wird und die Definition darauf angewandt Sinn ergibt? Bzw. verstehe ich auch nicht, inwiefern man das mit rein topologischen Argumenten lösen soll. In der Vorlesung haben wir nur Stetigkeit mittels offener Mengen von Urbildern und Stetigkeit in jedem Punkt einer Menge X angesprochen. Ich bin total ratlos, wie ich anfangen soll... Über ein paar Anregungen zur Beweisidee bin ich sehr dankbar. LG, Findus

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