Caley-Hamilton für diagonalisierbare Matrizen

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14.07.2016, 21:45	TheXRuler	Auf diesen Beitrag antworten »
Caley-Hamilton für diagonalisierbare Matrizen Meine Frage: Hi Leute, ich bearbeite gerade meine letzte LinA hausaufgabe für dieses Semester, und brauche möglichst viele punkte. Unsere Aufgabenstellung ist folgende: Zeigen sie das $\begin{eqnarray} A_{\alpha } \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \alpha \neq 3 \end{eqnarray}$ diagonalisierbar, aber für $\begin{eqnarray} \alpha = 3 \end{eqnarray}$ nicht diagonalisierbar ist. Überlegen sie welcher Satz aus der Vorlesung ihnen aufwendige Rechenarbeit erspart. Gegeben ist die Matrix $\begin{eqnarray} A_{\alpha} = \begin{pmatrix} 3 & 12 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe das Gegenbeispiel mit $\begin{eqnarray} \alpha = 3 \end{eqnarray}$ durchgerechnet und wie gewollt ist die geometrische Vielfachheit einer der Eigenwerte ungleich der algebraischen Vielfachheit. Folglich ist $\begin{eqnarray} A_3 \end{eqnarray}$ nicht diagonalisierbar. So weit so gut. Allerdings sollen wir ja Rechenaufwand sparen, und anderthalb seiten Rechenweg sind ja doch nicht ganz wenig. Also sah ich in den VL-Folien nochmal nach und fand diesen Satz: $\begin{eqnarray} A \in C^{n,n} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A \neq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A^{m} = 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} m \in N \end{eqnarray}$ ist nicht diagonalisierbar. Ich bin der Meinung das es das ist was ich benötige, allerdings weiß ich nicht was mit $\begin{eqnarray} A^{m} \end{eqnarray}$ für eine rechenoperation gemeint ist, eine solche schreibweise ist mir bis jetzt nicht untergekommen. Zum zweiten Teil würde ich einfach wie gehabt die Eigenwerte mit $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ausrechnen und dann ja vermutlich diese in abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ erhalten. Dann die Vielfacheit dieser bestimmen und gut ist, oder?
14.07.2016, 21:53	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche hilfe mit dem Caley-Hamilton für Diagonalisierbare Matrizen Das soll wohl $\begin{eqnarray} \alpha \neq 3 \end{eqnarray}$ heißen.. Ich würde nach einem Satz Ausschau halten, der etwas über Matrizen mit paarweise verschiedenen Eigenwerten aussagt. Edit: Was haben deine Überlegungen mit Cayley-Hamilton zu tun?
14.07.2016, 21:58	TheXRuler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast natürlich völlig recht, das soll heißen $\begin{eqnarray} \alpha \neq 3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha = 3 \end{eqnarray}$ Ich war zu sehr mit latex beschäftigt um das zu merken >.< Ist das nicht der satz von Cayley-Hamilton?
14.07.2016, 22:04	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ulkig. Du weißt nicht, was $\begin{eqnarray} A^m \end{eqnarray}$ ist, bist dir aber sicher, dass das der Satz von Cayley-Hamilton ist. Er ist es nicht und $\begin{eqnarray} A^m=AA\ldots A \end{eqnarray}$ ist das m-fache Produkt von A mit sich selbst.
14.07.2016, 22:12	TheXRuler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich gut in mathe wäre würde ich ja nicht hier posten... Ich dachte ich hätte was darüber gelesen das so aussah aber sicher war ich mir nicht. Leider kann ich die themenfrage jetzt nichtmehr ändern :c Das mit dem Paarweise verschieden hatte ich auch überlegt, aber wenn $\begin{eqnarray} \alpha = 0 \end{eqnarray}$ ist hat man doch auch das problem das man den eigenwert null zwei mal hat. Oder steh ich da jetzt auf dem schlauch? Siehst du das dachte ich mir auch zuerst, aber dabei kommt ja nich null raus also dachte ich ich mache etwas falsch.
14.07.2016, 22:25	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} \alpha=0 \end{eqnarray}$ hat der EW 0 in der Tat algebraische Vielfachheit 2. Seine geometrische Vielfachheit ist die Dimension des Kerns von A_0. Den Rang von A_0 kann man direkt ablesen....
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14.07.2016, 22:35	TheXRuler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche hilfe mit dem Caley-Hamilton für Diagonalisierbare Matrizen Könnte ich soetwas in der Art schreiben? Da es sich bei der Matrix $\begin{eqnarray} A_\alpha \end{eqnarray}$ um eine Dreiecksmatrix handelt lassen sich die Eigenwerte an der Diagonalen ablesen (das hab ich irgendwo so gelesen[skript glaube ich]). Da Matrizen mit paarweise verschiedenen Eigenwerten die Eigenschaft: $\begin{eqnarray} alg VFH (\lambda) = geom VFH (\lambda) = 1 \end{eqnarray}$ besitzen sind sie diagonalisierbar. Da $\begin{eqnarray} A_\alpha \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha \neq 3 \end{eqnarray}$ ,ausser im Fall von $\begin{eqnarray} \alpha = 0 \end{eqnarray}$ (wofür bereits gezeigt wurde das $\begin{eqnarray} A_\alpha \end{eqnarray}$ diagonalisierbar ist), immer paarweise verschiedene Eigenwerte besitzt, ist $\begin{eqnarray} A_\alpha \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha \neq 3 \end{eqnarray}$ diagonalisierbar.
14.07.2016, 22:41	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche hilfe mit dem Caley-Hamilton für Diagonalisierbare Matrizen Geht so
14.07.2016, 22:46	TheXRuler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche hilfe mit dem Caley-Hamilton für Diagonalisierbare Matrizen SUPER Vielen vielen lieben Dank für deine Geduld und deine Hilfe. MfG Chris

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