alpha-Quantil einer Verteilung bestimmen, Dichte gegeben

15.07.2016, 20:50

charliebrownonacid

alpha-Quantil einer Verteilung bestimmen, Dichte gegeben

Hallo zusammen.
ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe. Zum besseren Verständnis erstmal die Aufgabe, meine Ansätze und Fragen dann danach.

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} (\Omega \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}) \end{eqnarray*}$ ein statistischer Raum mit Parametrisierung $\begin{eqnarray*} \mathcal{P} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \{ \mathcal{P}_{\mu} : \mu \in \mathbb{N}_{0} \} \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} \mathrm{X} \end{eqnarray*}$ eine ZV, so dass $\begin{eqnarray*} \mathrm{P}^X_{\mu} \end{eqnarray*}$ die stetige Dichte
$\begin{eqnarray*} f_{\mu}(x) = \frac{2 \mu + 1}{2} \cdot x^{2\mu} \cdot \boldsymbol{I}_{(-1,1)} (x) \end{eqnarray*}$
besitzt.

...
b) Ist $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}) \end{eqnarray*}$ eine reguläre Familie von Verteilungen?

c) Bestimmen sie das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ - und das (1- $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ )-Quantil der Verteilung von X. Nutzen Sie dabei, dass $\begin{eqnarray*} P^{X} \end{eqnarray*}$ symmetrisch um 0 ist.

zu b) Nein, denn $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}_{0} \end{eqnarray*}$ liegt nicht offen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

zu c) Mein erster Versuch war, das Quantil über die Verteilungsfunktion zu bestimmen, allerdings weiß ich nicht ob mein Ansatz mit der Indikatorfunktion $\begin{eqnarray*} \boldsymbol{I} \end{eqnarray*}$ stimmt:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int_{-\inf}^x f_{\mu}(t) dt = \int_{-\inf}^{-1} f_{\mu}(t) dt + \int_{-1}^x f_{\mu}(t) dt <br /> <br /> =...= (2\mu+1) \cdot ( x^{2\mu+1} + 1) \end{eqnarray*}$

(EDIT: ich habe einige zwischenschritte beim berehcnen des integrals gehabt und schreibe das erste mal mit LATEX, deshalb habe ich mir das aufschreiben gerade erspart. zuerst ging es mir gerade um die frage, ob das aufteilen der integrale überhaupt sinn macht.)

Kann ich das Integral so aufsplitten bzw ist die Indikatorfunktion so richtig "verbaut"? Ich bin mir da nicht sicher, da die obere Grenze ja nicht berücksichtigt wird, aber das wie folgt aufzuspalten macht ja aufgrund der Symmetrie auch keinen Sinn.
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{x} f_{\mu}(t) dt + \int_{x}^1 f_{\mu}(t) dt \end{eqnarray*}$

Den Erwartungswert und ide Varianz habe ich auch bestimmt, weiß ob die benötigt werden.
$\begin{eqnarray*} E_{\mu}(X) = 0<br /> Var_{\mu} = E_{\mu}(X^2) - E_{\mu}(X)^2 = \frac {2\mu +1}{2\mu + 3} \end{eqnarray*}$

Ich stehe da gerade ziemlich aufm Schlauch und komme auch mit den Sätzen aus meinem Skript nicht wirklich weiter und ich wäre für jeden Denkanstoß sehr Dankbar.

mfg, charlie

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