Korrelationskoeffizient bestimmen

16.07.2016, 12:19

blablablub123

Korrelationskoeffizient bestimmen

Meine Frage:
Ich sitze gerade zur Klausurvorbereitung an der folgenden Aufgabe:

In einer Urne befinden sich 4 Kugeln, wobei zwei Kugeln mit der Ziffer 6, eine Kugel mit der Ziffer 3 und eine Kugel mit der Ziffer 1 beschriftet seien. Es werden nun zwei Kugeln unabhängig (mit Zurücklegen) gezogen und die Ziffern notiert. Es seien nun X und Y die Zufallsvariablen, welche das Ergebnis aus dem ersten Zug bzw. zeitem Zug beschreiben. Ferner betrachten wir die Zufallsvariablen Z:=X+Y und W:=X-Y.
a) Berechnen Sie die Erwartungswerte E(X),E(Y) und E(Z) sowie die Varianzen Var(X), Var(Y) und Var(Z).
b) Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten $\begin{eqnarray*} \rho_{X,Y} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \rho_{X,Z} \end{eqnarray*}$ .
c) Überprüfen Sie, ob die Zufallsvariablen Z und W unkorreliert oder sogar unabhängig sind.

Meine Ideen:
Bis jetzt habe ich:
zu a)E(X)=E(Y)=1/2*6+1/4*3+1/4*1=4
E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=8 (gilt wegen der Linearität des Erwartungswertes)
Var(X) = Var (Y) =1/2 *(6 - 4)^2+1/4 * (3 - 4)^2 + 1/4(1 - 4)^2=4,5
Var(Z) = Var(X+Y) = Var(X)+ Var(Y) =9 (gilt weil X und Y unabhängig sind)

zu b) $\begin{eqnarray*} \rho_{X,Y} = (Cov(X,Y))/ (\sigma_X \sigma_Y)=0 \end{eqnarray*}$ , da X und Y unabhängig gilt nämlich Cov(X,Y) =0
so und bei $\begin{eqnarray*} \rho_{X,Z} = (Cov(X,Z))/ (\sigma_X \sigma_Z) \end{eqnarray*}$ komme ich jetzt nicht wirklich weiter, hier kann ich ja nicht davon ausgehen, dass X und Z unabhängig sind, das heißt ich muss die Kovarianz von X und Z berechnen, dazu habe ich die folgende Formel Cov(X,Z)=E((X-E(X))(Z-E(Z))) oder umgestellt Cov(X,Z)=E(XZ)-(E(X))(E(Y)), leider weiß ich nicht wirklich, wie ich damit rechnen soll.

zu c) Ich weiß das Z und W unkorreliert sind, wenn Cov(Z,W) =0 (jedoch habe ich hier das gleiche Problem mit der Berechnung, wie bei b). Ich denke, dass es einfacher wäre hier zuerst nachzuprüfen, ob Z und W unabhängig sind, da daraus dann die Unkorreliertheit folgen würde. Aber auch beim Zeigen der Unabhängigkeit, weiß ich nicht genau, wie ich vorgehen soll.

Danke für die Hilfe und ich hoffe man kann alles lesen :-D

16.07.2016, 16:52

Huggy

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RE: Korrelationskoeffizient bestimmen

Zitat:

Original von blablablub123
dazu habe ich die folgende Formel Cov(X,Z)=E((X-E(X))(Z-E(Z))) oder umgestellt Cov(X,Z)=E(XZ)-(E(X))(E(Y)), leider weiß ich nicht wirklich, wie ich damit rechnen soll.

Na, $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E(Y) \end{eqnarray*}$ hast du ja schon. Und es ist

$\begin{eqnarray*} E(XZ)=E(X(X+Y))=E(X^2+XY)=E(X^2)+E(XY)=E(X^2)+E(X)E(Y) \end{eqnarray*}$

Die letzte Umformung wegen der Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ . Analog kannst du bei $\begin{eqnarray*} Cov(Z,W) \end{eqnarray*}$ vorgehen.

16.07.2016, 17:25

blablablub

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Danke Huggy, die Umformung kann ich nachvollziehen. Jedoch weiß ich nicht, wie ich E(X^2) berechnen soll. Kannst du mir da vielleicht noch einen Tipp geben?

16.07.2016, 18:09

Huggy

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Ganz direkt!
X kann die Werte 1, 3 und 6 annehmen, deren Wahrscheinlichkeiten du schon korrekt benutzt hast. Dann kann $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ die Werte 1 , 9 und 36 annehmen mit denselben Wahrscheinlichkeiten. Also

$\begin{eqnarray*} E(X^2)=1P(X^2=1)+9P(X^2=9)+36P(X^2=36)=1P(X=1)+9P(X=3)+36P(X=6) \end{eqnarray*}$

Aufpassen muss man nur, wenn X positive und negative Werte annehmen kann. Dann würde z. B. gelten

$\begin{eqnarray*} P(X^2=1)=P(X=1)+P(X=-1) \end{eqnarray*}$

16.07.2016, 18:46

blablablub

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Super, dankeschön.

Also ich habe jetzt für $\begin{eqnarray*} E(X^2)=20,5 \end{eqnarray*}$ raus. Dann ist $\begin{eqnarray*} E(XZ)=E(X^2)+E(X)*E(Y)=20,5+4*4=36,5 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} Cov(X,Z)=E(XZ)-(E(X))*(E(Z))=36,5-4*8=4,5 \end{eqnarray*}$ und damit folgt dann insgesamt $\begin{eqnarray*} \rho_{X,Z}=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}= \frac{4,5}{\sqrt{4,5} \sqrt{9}}=0,71 \end{eqnarray*}$ . Stimmt das soweit?

Bei d) habe ich dann dann nach dem gleichen Schema gerechnet:
Es gilt $\begin{eqnarray*} E(Z)=8 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E(W)=E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0 \end{eqnarray*}$ , desweitern ist $\begin{eqnarray*} E(ZW)=E((X+Y)(X-Y))=E(X^2-Y^2)=E(X^2)-E(Y^2)=0 \end{eqnarray*}$ , da gilt $\begin{eqnarray*} E(X^2)=E(Y^2) \end{eqnarray*}$ . Insgesamt gilt dann für die Kovarianz $\begin{eqnarray*} Cov(ZW)=E(ZW)-E(Z)*E(W) = 0-0=0 \end{eqnarray*}$ . Damit sind Z und W nicht unkorreliert. Bleibt noch zu zeigen, dass Z und W unabhängig sind oder eben nicht. Rein intuitiv würde ich sagen, dass sie nicht unabhängig sind. Weiß aber nicht so richtig, wie ich das jetzt aufschreiben soll.

16.07.2016, 19:02

Huggy

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Das sollte richtig sein, wobei ich die Zahlen nur überflogen habe.

Zitat:

Original von blablablub
Bleibt noch zu zeigen, dass Z und W unabhängig sind oder eben nicht. Rein intuitiv würde ich sagen, dass sie nicht unabhängig sind. Weiß aber nicht so richtig, wie ich das jetzt aufschreiben soll.

Wenn man vermutet, dass Z und W nicht unabhängig sind, genügt es ja, ein Beispiel aufzuzeigen mit

$\begin{eqnarray*} P(Z=z \cap W=w) \neq P(Z=z) \cdot P(W=w) \end{eqnarray*}$

z. B. $\begin{eqnarray*} z=4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w=0 \end{eqnarray*}$

16.07.2016, 20:21

blablablub

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Danke, ich hab das jetzt mal einmal eingesetzt, dann steht da $\begin{eqnarray*} P(Z=4 \cap W=0)=P(X+Y=4 \cap X-Y=0)=0 \neq \frac{12}{256} = \frac{2}{16} * \frac{6}{16} = P(Z=4)*P(W=0) \end{eqnarray*}$ . Das passt so von den Werten, oder?

Ich habe noch eine Frage ins Forum gestellt zu Markov-Ketten, kennst du dich damit auch aus? Wäre super, wenn du mir da auch helfen könntest.

17.07.2016, 08:23

Huggy

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Passt!

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