Konvergenz, Quotientenfolge

16.07.2016, 18:14	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz, Quotientenfolge Eine Frage tauchte beim lernen auf: Bezeichne $\begin{eqnarray} (a_j)_{j \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ eine Folge. Frage:Was kann man über das Konvergenzverhalten der Folge $\begin{eqnarray} (\frac{a_{j+1}}{a_j})_{j \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ aussagen wenn man über die Konvergenz zum selben Grenzwert der beiden Folgen $\begin{eqnarray} (q_j)_{j \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (r_j)_{j \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ , welche durch $\begin{eqnarray} q_j= \frac{a_{2j}}{a_{2j-1}}, r_j = \frac{a_{2j+1}}{a_{2j}}, j \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ definiert sind, bescheid weiß? Das sind ja jeweils nur Teilfolgen der Folge an der in interessiert bin. Kann ich aus der Konvergenz zum selben Grenzwert der beiden Teilfolgen schon allgemein etwas schließen?
17.07.2016, 09:01	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz, Quotientenfolge Ein schönes Resultat, das sogar in topologischen Räumen gilt: Es gilt $\begin{eqnarray} b_n \to b \end{eqnarray}$ genau dann, wenn jede Teilfolge $\begin{eqnarray} b_{n_k} \end{eqnarray}$ eine weitere Teilfolge $\begin{eqnarray} b_{n_{k_l}} \end{eqnarray}$ besitzt, so dass diese gegen $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ konvergiert.
17.07.2016, 10:51	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für das Resultat! Ich habe noch eine ähnliche Frage: Wir definieren die Folge $\begin{eqnarray} (a_j)_{j \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} a_j = \begin{cases} 1+ 2^{-j}, & \mbox{für } j =0 mod3 \\ \frac{1}{j^2+j}, & \mbox{für } j=1 mod3\\ -4+\frac{4^j+2^j+1}{2+4^j}, & \mbox{für } j=2 mod3 \end{cases} \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie die Häufungswerte der Folge $\begin{eqnarray} (a_j)_{j\in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ . Ich habe $\begin{eqnarray} \lim_{j\rightarrow\infty} a_{3j}=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{j\rightarrow\infty} a_{3j+1}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{j\rightarrow\infty} a_{3j+2}=-3 \end{eqnarray}$ als drei Häufungswerte. Hilft mir da dieses Resultat umzuzeigen, dass es keine anderen Häufungswerte geben kann?
17.07.2016, 10:57	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht wirklich. Aber kann keine weiteren geben, dass du alle natürlichen Zahlen abgedeckt hast. Sei $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ein weiterer Häufugnspunkt. Dann gibt es eine Teilfolge, die dagegen konvergiert und die enthält mindestens unendlich viele Glieder der Form $\begin{eqnarray} (3j), (3j+1) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} (3j+2) \end{eqnarray}$ . Nachdem man zusätzlich eine weitere Teilfolge von einer Form da oben genommen hat, konvergiert die Folge also gegen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und gleichzeitig gegen einen der 3 bisherigen Häufungspunkte. Da der Grenzwert in metrischen Räumen (!) eindeutig ist, gibt es also nur 3.
17.07.2016, 12:29	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Erklärungen! LG, MaGi

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »