Konvergenz, (1+1/n)^n, Weg vorgegeben

17.07.2016, 12:24

StrunzMagi

Konvergenz, (1+1/n)^n, Weg vorgegeben

Zeigen Sie, dass die Folg $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ , welche durch
$\begin{eqnarray*} a_n= (1+1/n)^n, n \ge 1 \end{eqnarray*}$ gegeben ist konvergiert, indem Sie folgenden Weg beschreiten
a) Verwenden Sie den Binomialsatz um, $\begin{eqnarray*} a_n = \sum_{j=0}^n b_{n,j} \frac{1}{j!} \end{eqnarray*}$ zu schreiben.
b) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} b_{n,j} \le b_{n+1,j} \end{eqnarray*}$ ist.
c) Folgern Sie, dass $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ monoton (steigend) ist.
d) Schätzen Sie $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nach oben ab, indem Sie wiederrum den Binomialsatz anwenden, die einzelnen Terme $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} \frac{1}{n^j} \end{eqnarray*}$ in der Summe durch z.B. $\begin{eqnarray*} 2^{-j} \end{eqnarray*}$ nach oben beschränken und die geometrische Summenformel anwenden.

Hallo!
a)
$\begin{eqnarray*} a_n = \sum_{j=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} \frac{1}{n^j}= \sum_{j=0}^n \frac{n!}{j! (n-j)!} \frac{1}{n^j} = \sum_{j=0}^n \frac{1}{j!} b_{n,j} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b_{n,j}= \frac{(n-j+1)*..*n}{n^j} \end{eqnarray*}$

b)
Für j=0 ist $\begin{eqnarray*} b_{n,0}=1 \le 1=b_{n+1,0} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \ge 1 \end{eqnarray*}$
Nun für $\begin{eqnarray*} j > 0 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \frac{b_{n+1,j}}{b_{n,j}}= \frac{(n-j+2)*..*n}{(n+1)^j}*\frac{n^j}{(n-j+1)*..*n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (\frac{n}{n+1})^j \frac{1}{n-j+1}= (1- \frac{1}{n+1})^j \frac{1}{n-j+1} \end{eqnarray*}$
Bernoulli $\begin{eqnarray*} \le \frac{1+j*(n+1))}{n-j+1}= \frac{1+jn+j}{n-j+1} \ge 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j>0 \end{eqnarray*}$ .

c)
$\begin{eqnarray*} a_n = \sum_{j=0}^n \frac{1}{j!} b_{n,j} \le \sum_{j=0}^n \frac{1}{j!} b_{n+1,j}= \sum_{j=0}^n \begin{pmatrix} n +1\\ j \end{pmatrix} \frac{1}{(n+1)^j}<\sum_{j=0}^{n+1} \begin{pmatrix} n +1\\ j \end{pmatrix} \frac{1}{(n+1)^j}=a_{n+1} \end{eqnarray*}$

d)
$\begin{eqnarray*} a_n = \sum_{j=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} \frac{1}{n^j} \end{eqnarray*}$
Wie schätze ich nun $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} \frac{1}{n^j} < 2^{-j} \end{eqnarray*}$ ab?

17.07.2016, 14:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von StrunzMagi
Wie schätze ich nun $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} \frac{1}{n^j} < 2^{-j} \end{eqnarray*}$ ab?

Das war ein Beispiel mit dem $\begin{align*} 2^{-j} \end{align*}$ , kein Muss. unglücklich

Auf Basis von $\begin{align*} j! =1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot j \geq 1\cdot \underbrace{2\cdot 2\cdot \ldots \cdot 2}_{(j-1)~\mbox{Faktoren}} = 2^{j-1} \end{align*}$ könnte man einfach

$\begin{align*} \binom{n}{j} \frac{1}{n^j} \leq \frac{n^j}{j!}\cdot \frac{1}{n^j} \leq \frac{1}{2^{j-1}} = 2^{1-j} \end{align*}$

abschätzen, zumindest für alle $\begin{align*} j\geq 1 \end{align*}$ .

17.07.2016, 15:09

StrunzMagi

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Danke für den Tipp:
$\begin{eqnarray*} a_n \le \sum_{j=0}^n 2^{1-j} =2* \sum_{j=0}^n \frac{1}{2^j}< 2 * \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{2^j}=2* \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=4 \end{eqnarray*}$
Passt Aufgabenteil a) sonst soweit - da ich mir da unsicher war.

Liebe Grüße,
MaGi

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