Rationale Zahlen, Konstante finden, Ungleichung

17.07.2016, 15:30	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Rationale Zahlen, Konstante finden, Ungleichung Zeigen Sie: Sei $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ . Dann gibt es ein $\begin{eqnarray} C>0 \end{eqnarray}$ , sodass für jede rationale Zahl $\begin{eqnarray} \frac{p}{q} \not=\alpha \end{eqnarray}$ die Ungleichung: $\begin{eqnarray} \| \alpha - \frac{p}{q}\| \ge \frac{C}{q} \end{eqnarray}$ gilt. Mir sind passend dazu eingefallen: Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen gibt es stets eine weitere rationale Zahl. $\begin{eqnarray} \alpha < \frac{\alpha + p/q}{2} < \frac{p}{q} \end{eqnarray}$ Und das archimedische Prinzip(da $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ eine positive Zahl ist): $\begin{eqnarray} \exists N \in \mathbb{N}: N\frac{1}{q} \ge \|\alpha - \frac{p}{q}\| \end{eqnarray}$ Nur hängt C hier immer von der rationalen Zahl $\begin{eqnarray} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ ab, ich weiß nicht wie ich C unabhängig von dieser wählen kann..
17.07.2016, 15:52	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde so rangehen: $\begin{align} \alpha\in \mathbb{Q} \end{align}$ bedeutet, dass es $\begin{align} r,s\in\mathbb{Z},\,s\geq 1 \end{align}$ mit $\begin{align} \alpha = \frac{r}{s} \end{align}$ gibt. Dann kann man im Fall $\begin{align} \alpha\neq \frac{p}{q},\,q\geq 1 \end{align}$ abschätzen $\begin{align} \left\| \alpha-\frac{p}{q}\right\| = \left\| \frac{r}{s}-\frac{p}{q}\right\| = \frac{\|rq-ps\|}{sq} \geq \frac{1}{sq} \end{align}$ . Man wähle also $\begin{align} C=\frac{1}{s} \end{align}$ , fertig.
17.07.2016, 16:20	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, ich hatte wohl zu kompliziert gedacht! LG, MaGi

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